逐步分析在数学教学中的实践与思考

☉江苏省苏州市常熟市支塘镇王淦昌中学 王利亚

数学解题重在对问题的转换，即将其充要条件逐步通过分析转化出来，这正是数学解题的基本之道.波利亚在如何解题中谈道：数学问题的求解过程，正是一个不断转化的过程，将难懂的、抽象的条件，用更为简捷的形态转述，这就是解题.试想，这段话明确点明了解题的经历过程，不正是等价形态的呈现嘛.

逐步转化是针对中学生提出的一个问题解决的形式，即以中学生现有的知识体系为根本，以教师引导下的学生探索为切入口，采用分解步骤的方式，逐步引导学生思考问题为什么这么做.这与以往教师不顾学生思维所处的状态，一味地采用一题多解、一题多变，以超大训练替代学生的思考不同，逐步分析的方式恰恰是以学生最近发展区为认知根本出发，以便获得较好的“思维台阶”，一步一步地解决问题.笔者不否认以往教学方式的优点，但是只有从学生思维出发，逐步做好适合学生发展的教学环节，才是真正符合学生学习心理的发展，有助于其学习能力的提高.

一、为什么要逐步分析

我们知道，学生对于困难问题的思考往往局限在一定的框架内，即直观思考.大量的调查研究表明，学生在解决数学难题时，一般仅仅观察到的就是问题的第一表象，这种表象让学生仅仅围绕在问题的表面进行思考，其对于知识的整体掌握能力的弱化，导致其不知道怎么去分析难题，不如看几个问题，思考为什么要在教师引导下进行逐步分析.

（1）组成锐角三角形；（2）组成直角三角形；（3）组成钝角三角形；（4）在同一条直线上.

分析1：本题是以向量数量积为背景的一道试题，学生的思考是非常直观的从数量积角度思考，即|AB|·|BC|（-cosB），但是学生在数量积直接展开后就基本陷入思考的停顿，说明其分析问题的能力较为欠缺.如何进一步帮助学生解决问题呢？教师引导学生进行问题的逐步分析.既然走到了“死胡同”，教师不妨引导学生反向思考：若三角形是直角三角形，则显然数量积应该是0，则显然不合，故舍去；若三角形为钝角三角形，则数量积的数值必定是有负值存在的，显然不合，舍去；最后再思考，若存在三点共线，则必定数量积存在负值，因此只可能是锐角三角形.从反向的思考中，一步一步地解决了问题，也间接帮助学生理解再遇到处理瓶颈时，如何多角度、转换思维去思考，体现了为什么要逐步分析问题的能力.

分析2：引导学生思考，在得到数量积展开式之后，可以怎么思考？观察数量积的形态，学生想一想能与哪些知识衔接起来？总体而言，在有边长和有角度的代数式中，学生自然能分析到可能和正余弦定理紧密相关.得-a·bcosC=3t，-b·ccosA=4t，-c·acosB=5t，即a2+b2-c2=-6t，b2+c2-a2=-8t，a2+c2-b2=-10t，解得a2=-8t，b2=-7t，c2=-9t，其中t＜0，由余弦定理得cosC＜0，即这三点组成锐角三角形.

分析3：学生在数量积展开到达一定“死胡同”时，教师引导学生思考如何降解这个数量积的运算？显然，数量积是向量和差的更高级运算，将高级运算重新转化为低级运算，是否可行？教师可以从这一角度与整合这个思路：分别令以下同解析2.相比第二种方式，其运算量大大降低了，并与余弦定理结合解决问题.这样的逐步分析，正是将问题的处理简化了不少.

分析4：上述的分析都是从边的角度思考，若能引导学生逐步从角度的方向分析，也是一个不错的选择.不妨从更高的思考角度，即以数量积、角度之间寻求新的联系.引导学生思考与数量积公式类似的是三角形面积公式，寻求广泛分析过程.由于

意图：逐步分析恰恰是在学生分析困难的前提下提出的，为什么要逐步分析？正是因为学生的问题解决陷入了困扰，教师在此基础上引导其一步一步思考为什么要这么走下去？笔者认为，这样的分析是有意义的，对于学生的思考是有帮助的，思维的提炼是有意义的.

二、如何实现逐步分析

在引导学生明白困难的问题是一步一步解决的思路之后，要进一步引导其思考如何实现这一逐步分析的过程呢？在学习之初自然有教师的引导，但是随着学习的深入，要不断总结学习经验、积累解题心得，才能获得自我能力的提升.具体如何实现学生自我的解题逐步分析呢？笔者认为可以分三步实现：第一，学生自身对于基本知识和基本技能的熟练掌握，离开了基本知识的解题是寸步难行的，你不懂“不等式放缩技巧数十种”没关系，但是你必须要知道基本不等式的运用、各种不等式的基本解法等等；第二，学生需要对知识有整合的积累，比如，求问题（x-cosα）2+（2x-sinα）2的最小值，学生需要思考的问题：此题其实整合了两点间的距离公式、消参法后的直线上动点与圆上动点之间的距离的最小值，试想没有知识的整合是难以到位的；第三，学生需要数学思想的帮助，有些问题离开了数学思想解决起来是非常吃力的.笔者认为，三者的结合可以帮助我们实现对问题的逐步分析.

问题2：若实数x，y满足x2+y2≤1，则|2x+y-2|+|6-x-3y|的最小值为_______.

分析1：求解本题的难点是如何去掉绝对值符号.首先我们发现当x2+y2≤1时，6-x-3y≥0，所以F=|2x+y-2|+|6-x-3y|=|2x+y-2|+6-x-3y，为了求F的最小值，我们可以按2x+y-2＞0与2x+y-2≤0，把问题转化为约束条件（x2+y2≤1及2x+y-2＞0或2x+y-2≤0）下，求F的最小值.如图1，直线l：2x+y-2=0将单位圆面x2+y2≤1分为两部分：

图1

（1）当2x+y-2＞0时，F=|2x+y-2|+|6-x-3y|=x-2y+4，即问题转化为求目标函数z=x-2y+4在阴影区域及其边界的最小值，由线性规划知识可求得F＞3；

（2） 当2x+y-2≤0时，F=|2x+y-2|+|6-x-3y|=-3x-4y+8，即问题转化为求目标函数z=-3x-4y+8在直线l下方与单位圆面所围区域（包括边界）的最小值，由线性规划知识可求得F在点A）时取得最小值3.

图2

分析2：二元变量x，y满足关系式x2+y2≤1，其几何意义非常的明显，即点（x，y）在以x2+y2=1为边界的圆及其内部的圆面上，而可分别看成点（x，y）到直线l1：2x+y-2=0，l2：x+3y-6=0的距离.因此，从解析几何的角度我们可以得到如下的解法.如图2，直线l1，l的斜率分别为-2，-，两直线间的夹角记为θ，则tanθ=

（未完，）

意图：综合问题的解决，我们不难发现要介入笔者开始所述的整合思想，本题如何实现逐步分析？分析1告诉我们，首先绝对值问题的自然思路是分类讨论思想的介入，因此将目标函数进行分类讨论，进而利用线性规划基本知识即可解决；分析2是从数形结合思想中的以数解形出发，思考绝对值可以从点到直线的距离入手，这样的分析较为有新意，自然获得了一定的创新.有兴趣的读者还可以从绝对值三角不等式的意义出发，进一步思考这样的问题.

总之，逐步分析转化是问题解决的必经过程，本文从为什么要逐步分析、如何逐步分析的视角进行了浅显的分析.数学解题重在分析、转化，将这一过程传授到位，才是真正帮助学生度过了解好数学题这一关，培养学生的解题意识、提高其基本知识基本技能的使用能力、注重知识的综合度、关注思想的渗透等等都是有效的手段，值得教师在教学中不断渗透、不断提炼.

1.波利亚.数学与猜想［M］.科学出版社，1984.

2.吴志雄.培养高中生数学应用意识的策略与思考［J］.中学数学研究，2010，5.

3.张惠良.提出数学猜想的一些途径［J］.数学教学研究，2005，3.

4.杨建辉.新课程标准下教师解题设计应具备的几种意识［J］.数学通报，2011，2.