第二类曲面积分的新计算方法

张平

摘 要：本文给出了第二类曲面积分的一种新计算方法，从全微分的角度重新审视面积元素，利用面积元素之间的转换关系来计算第二类曲面积分。

关键词：第二类曲面积分 全微分 面积元素

一、引言

由于第二类曲面积分[1～5]的概念抽象难懂，致使许多学生难以掌握其求法。本文另辟蹊径，利用全微分来转换面积元素，大大降低了计算难度。

二、结论

定理1： ，其中 为三元可微函数， 是由 确定的隐函数 ， 是 在 面的投影区域。

证明：全微分 ，且面积元素 ，则有

例1： ，其中 为曲面 的上侧。

解法一：令 ，则 ，由定理1知

原式 ，

解法二：补辅助面： ，下侧。由高斯公式得

原式

，

显然，解法一的思路要优于解法二，大大简化了第二类曲面积分的计算量。

定理2： ，其中 为三元可微函数， 是由柱面 围成， 是 在 面的投影区域。

证明：由柱面 得 ，则 ，故

例2[3]： ，其中 是柱面 被平面 所截得的在第一卦限内的部分的前侧。

解法一：令 ，则 ，由定理2知

原式 ，

；

解法二： 在 面投影 ，在 面投影 ，在 面的投影 ，故

原式

從例2可以看出，解法一的计算过程明显比解法二简单。

参考文献

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