浅谈怎样培养学生在证明题中运用“等量代换”作为中间“桥梁”的意识

龙正兵

摘要：数学是一门比较抽象，但逻辑性很强的学科。绝大多数学生对数学题都感到头痛，都觉得找不到方法去解决。作为一名数学科任教师，怎样去培养学生的一些数学应用意识，让学生在实际中去运用这些意识思想去解决问题？这就要求我们老师平时在实际教学中多注重去培养学生这方面的能力。本文中笔者就对培养学生学会运用“等量代换”作为中间“桥梁”的意识思想去解决几何证明题的方法技巧进行分析研究。

关键词：等量代换;桥梁;应用意识

中图分类号：G633.6     文献标识码：B    文章编号：1672-1578（2018）31-0142-02

几何证明题是初中阶段大多数学生都感到棘手的问题，尤其是有些证明问题，要证明的结论中的两个量之间，从表面看，很难发现他们之间到底存在哪些关系。这就更增加了我们证明的难度。往往绝大多数学生遇到这样的问题，大多都只能望洋兴叹，望而却步，感到无从着手，找不到证明的突破口。秉着本人从事教育教学工作二十几年的一些心得体会。本文我就把自己的多年解题的方法技巧作一下小结与梳理，以供大家共勉之。

针对以上所提的要证明的两个量之间关系比较模糊的问题，甚至有些看上去连一丁点关系都没有的问题。我们要解决这样的问题，不能循规蹈矩地要想从正面通过推理论证地去找出它们的关系。这样做有时会事倍功半，甚至无功而返。那我们怎么办呢？不要气馁，我们可以偿试去寻找另外一组介于这两个量之间的新的量，换而言之，要想方设法利用“等量代换”来搭建两量之间的中间“桥梁”。把两个看似毫无关系的量连接在一起。从而使问题得以迎刃而解。现从以下几方面作详细阐明。

1.要证明两条线段相等，可找中间线段，由中间线段的关系得出这两条线段相等

例1.已知：如图，AB是半圆O的直径，PA，PC是⊙O的两条切线，切点分别为A、C两点，CD⊥AB，垂足为D，连接PB交CD于点E。

求证：CE=ED.

分析：要证CE=ED，表面看是只须证点E为CD的中点就行了。其实要想证明点E为CD的中点，根本找不到与之对应的中点关系。如要硬从这方面去证明它，那你可能会走入死胡同，最后无功而返。这时，我们不防去寻找一个中间“桥梁”，通过“桥梁”来连通这两条线段的关系。如图，我们可作辅助线，即连接AC，BC，延长BC交AP的延长线于点F。于是得证明过程如下：

证明：∵PA是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，

∴可得PA⊥AB，

∵CD⊥AB

∴CD∥AF

∴DEAP=BEBP，CEPF=BEBP

∴DEAP=CEPF

∵PA、PC分别是⊙O的两条切线，

∴PA=PC

∴∠PAC=∠PCA

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，则∠ACF=90°，即∠PCF+∠PCA=90°

∴∠F+∠PAC=90°

∴∠F=∠PCF

∴PF=PC

∴PF=PA

又DEAP=CEPF

∴DE=CE.

根据以上证明过程可知，我们是通过从BEBP这一中间“桥梁”连通了DEAP=CEPF的关系，再通过证明出AP=PF这一桥梁，又连通了DE与CE的关系，从而问题得以解决。

2.可以用“等量代换”的方法

我们在学习相似形后，往往会经常遇到待证的比例式的四条线段，不分布在两个可能相似的三角形之中。这时，我们就要根据分析条件，观察有没有线段与待证线段相等，然后去寻找或通过作辅助线的方式创建与待证线段相等的线段，且使其又还是分布在两个相似三角形中的四条比例线段。最后我们再利用“等量代换”的方式把其代换为待证线段，从而解决问题。如

例2.如图，△ABC中，D是AB上一点，AD=AC，BC边上的中线AE交CD于F.

求证：ABAC=CFDF

分析：由图可知，AB，AC，CF，DF这四条线段并不在两个相似三角形中，要想证明这个比例关系成立，那我们就必须要寻找另外线段，使之既与这些线段相等，又还在两个相似三角形中。由此，再通过这两相似三角形的关系，得出相应的比例关系.再通过等量代换，得出要证的线段关系.从而问题得证.证明过程如下：

证明：延长AE至点G，使AE=GE，连接CG.

∵AE是BC边的中线

∴BE=CE

∵∠AEB=∠GEC，AE=GE

∴△AEB≌△GEC

∴AB=GC，∠BAE=∠CGE

∵∠AFD=∠GFC

∴△AFD∽△GFC

∴CGAD=CFDF

∵AD=AC，AB=GC

∴ABAC=CFDF.

由以上的证明过程，可以看出，我们是通过等量代换这一“桥梁”把AD代换成AC，把GC代换成AB，从而把看似毫不相干的四条线段AB，AC，CF，DF由AD、GC这两条线段连通到△AFD、△GFC這两个相似三角形中。从而使问题得到解决。

通过以上的应用举例分析，使我们不难发现，在实际解题当中，有很多题目直接证明是很难的。但只要我们善于去搭建一些沟通“桥梁”，往往能使复杂的题目变得非常的浅显易懂，能使一些看似毫不相干的两个量瞬间变得联系紧密。我们在社会现实中的人际关系不也如此吗？总之，只要我们平时能够做到善于总结，举一反三，触类旁通，并养成一些好的数学应用意识思想，我们做事便会收到事半功倍的效果，就会少走或不走许多不必要的冤枉路。从而能够更好地把学习活动变为一种有目的，有技巧，有趣味的活动。使学生更加善于学习，乐意学习。