真的抓住了重力吗

董含章

摘 要：台湾一中学实验组采用多种方法测量重力加速度，并且观察到了与潮汐同步的重力加速度的现象，这个实验参加了科学展览会并且获得了奖项。潮汐现象是由于月球重力的影响导致的，单摆实验测量能够观测到似乎遥不可及的月球重力的影响吗？这似乎是一个非常有趣的结果。基于萬有引力的定律探讨台湾某中学重力加速度测量结果，讨论用单摆或者凯特摆测量月球重力影响的可能性。

关键词：月球；重力影响；万有引力；重力加速度；单摆；凯特摆

重力加速度（Gravitational acceleration）是一个物体受重力作用的情况下所具有的加速度。也叫自由落体加速度，用g表示。方向竖直向下，其大小用多种方法可测定。

通常指地面附近物体受地球引力作用在真空中下落的加速度，记为g。为了便于计算，其近似标准值通常为980厘米/秒的二次方或9.8米/秒的二次方。在月球、其他行星或星体表面附近物体的下落加速度，则分别称月球重力加速度、某行星或星体重力加速度。

众所周知，单摆是测量重力加速度的简要方法，单摆实验广泛流行于中学普通物理实验，单摆的摆动周期与摆幅无关，只依赖于摆长和重力加速度，测量周期和摆长就可以计算出重力加速度。基于类似的原理，凯特摆（又称为复摆）提供了更为精确的测量重力加速度的方法。除了单摆实验，也可以用测量铁球坠落的速度变化来直接测量重力加速度，但是方法要繁复得多，也难以达到比较高的精度。台湾一中学实验组采用多种方法测量重力加速度，并且观察到了与潮汐同步的重力加速度的现象，这个实验参加了科学展览会并且获得了奖项。潮汐现象是由于月球重力的影响导致的，单摆实验测量能够观测到似乎遥不可及的月球重力的影响吗？这似乎是一个非常有趣的结果。如果这是事实，我们足不出户就可以在实验室“预测”月亮的位置，天体运行规则在教室里用一个小小的单摆就可以生动展现给学生，这是多么令人惊讶和振奋的事情。

图1所示是实验中观测到的数据，可以明显看到测量数据随时间平滑的波动，是不是因为月球重力影响呢？

这个时间波动到底是不是月球的影响呢？原实验报告与潮汐的比对更清楚。

这真是一个令人惊讶的结果，实验采用单摆等手段可以测量重力加速度到0.001米/秒2的精度，而从图1可以看出月球的影响在0.02米/秒2左右，所以用单摆可以观察到月球运行的影响，文中甚至提出观察太阳运行位置的影响。

真是这样吗？我们可以运用物理定律作一些基本分析计算。引用万有引力公式，物体所受到的引力表达为：

假定地球上的铁球质量为M0，地球质量为Me，地球半径为R。不考虑其他因素，那么我们可以算出铁球在地表的重量是

F=M0×g=G×Me×M0/R2

其中G是万有引力常数，被卡文迪许用精密的扭称实验首次测量过，也就是得到g=G×Me/R2

查阅准确的万有引力常数G=6.67384×10-11米3千克-1秒-2，地球质量Me=5.972×1024千克，地球半径R=6.371×106米。带入可以算出地球导致的重力加速度为熟知的g=9.863米秒-2。

如果考虑月球的影响呢？假定月球质量是Mm，月球与地球的距离是Rm，明显月球在实验测量地点的正上方的时候重力加速度最小，因为月球重力与地球重力方向相反而抵消了一部分地球重力，而月球运行到实验地点的正下方的时候重力加速度最大，因为月球重力与地球重力方向相同而增大了重力加速度。

很容易由万有引力公式推算出

gmax=G×[Me/R2+Mm/（Rm+R）2]

gmin=G×[Me/R2-Mm/（Rm-R）2]

容易算出最大的重力加速度和最小的重力加速度的差别是：

gmax-gmin=G×Mm[1/（Rm+R）2+1/（Rm-R）2]

考虑到月球到地球距离是3.84×108米，是地球半径的大约60倍，月球质量是7.35×1022千克，是地球质量的，所以很容易算出

gmax-gmin=3.31×10-5米秒-2=3.36×10-6g

也就是说月球位置的影响最大只能够导致百万分之三左右的重力加速度的影响，大约是普通单摆的精度，假定是0.001米秒-2的百分之三左右。

总结分析结论，用单摆实验很难观察到月球运动导致的重力变化，文中所提到的台湾中学实验结果值得商榷。即使是用凯特摆测量重力加速度，花费大量时间，测量精度也只有3×10-5米秒-2。因此在普通物理实验室，很难用测量重力加速度的变化来测量预测月球运动位置或者潮汐变化。

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