考虑前三阶模态时悬索桥的车过载荷响应

程钲鸿+屈本宁+黄坤+马琨

摘要： 本文通过Galerkin方法对经典的悬索桥垂向弯曲振动方程进行离散，得到了包含三个二阶方程的常微分组。通过该常微分方程组的解析解，研究了车过载荷作用下结构的动力学行为，并和有限元计算结果进行对比。研究结果显示，Galerkin方法得到的一阶、二阶振动频率和有限元结果一致，但三阶模态的振动频率比有限元的结果大；车过载荷作用下，三阶模态截断得到的解析解在整体运动趋势和有限元计算结果一致。因此，要较精确的描述悬索桥的动力学行为，需要考虑二阶和三阶模态。

Abstract： In this paper， a system of second order ordinary differential equations （ODEs） is obtained through applying Galerkin method in the classical mathematical model of bending vibration of the suspension bridges. The ODEs， which include three equations， are used to describe the vibrations of the bridge for the vehicle loads. By comparing the analysis solutions of the ODEs with the solutions of finite element， the conclusions can be found as follow： ①the first two analytical frequencies are good agree with the finite element one， but the third analytical frequency is greater than the finite element one about 10%； ②for the vehicle loads， the analytical solutions describe appropriately the entirety motion. Therefore， when the oscillations of the bridge are researched， it is necessary to take the second and third order modal into account.

关键词： 悬索桥；Galerkin方法；车过载荷；有限元

Key words： suspension bridge；Galerkin method；vehicle loads；finite element simulation

中图分类号：U443.38 文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2018）04-0215-05

0 引言

悬索桥是大跨桥梁的首选桥型之一，其力学性质已被广泛而深入的研究[1]。1888年，T.Melan在他的著作《拱和吊桥理论》首次提出了有加劲梁的悬索桥挠度理论[1]。Reissner等建立了包括弹性主缆、吊杆和加劲梁的悬索桥模型；并考虑了截面的扭转，以及索、梁的大位移和剪切变形的影响。Reissner[2]使用Rayleigh法得到了基频，说明剪切变形对低阶频率的影响较小，但对高阶频率影响较大。Bleich[3]等人将悬索桥的线性静态位移理论扩展到动态的情况，并假设加劲梁通过不可伸长的吊杆连接到弹性主缆上。该模型忽略了纵向位移和剪切变形的影响。他们研究发现主缆初始张力对一阶自然频率具有关键影响，而主梁的刚度对此基频的影响很小。Hayashikawa和Kim[4]等人使用非线性模型研究了悬索桥的自由垂向振动，并考虑了加劲梁的剪切变形和转动惯量的影响，得到的结果与Reissner一致。Abdel-Ghaffar[5]通过有限元方法研究了垂向弯曲-扭转耦合振动，并考虑了横向变形的影响。结果显示，在低频振动情况下，垂直和扭转的振动不耦合。Abdel-Ghaffa结果同样证明，梁的刚度对低频振动的固有频率影响很小，但对高频振动的影响很明显[5]。Luco和Turmo[6]等人利用经典的连续悬索桥模型，研究主缆轴向刚度和加劲梁弯曲刚度对悬索桥的固有频率、振型的影响。

在大多数使用数学模型研究悬索桥力学问题的文献中，主要讨论结构的静力和自由振动频率问题，对受迫振动问题较少关注。事实上，在实际使用过程中，悬索桥受迫振动时的力学行为对结构的安全使用更为关键。例如，美国Tacoma桥就是在风致受迫振动中倒塌的[7，8]。在正常使用环境中，车过载荷是桥梁受迫振动的主要来源之一。而且，大多数研究仅使用一阶模态来研究车过载荷对结构的影响。而对于大跨度悬索桥，车过载荷的激励频率远离结构的一阶自由振动频率，但高速行驶的车辆可能激发结构的较低阶模态的共振。因此较高阶模态在结构振动中的作用会变得显著。在本文中，我们将采用Galerkin方法对经典线性挠度理论模型，進行三阶截断得到一组包含三个二阶方程的常微分方程组，并以此为基础来讨论车过载荷对结构的影响。论文剩余部分安排如下：在第二节，将使用Galerkin方法对偏微分方程进行离散，得到常微分方程组，并对该方程组进行求解。第三节，使用有限元软件ANSYS对某大桥进行数值计算，并和Galerkin方法得到的结果进行对比讨论。最后一节给出初步结论。

1 悬索桥理论计算

悬索桥由主缆通过吊杆与加劲梁进行连接，通过主缆把竖向力传递到主塔进而传递给基础。主缆拉力通过边缆锚固作用而传递到地基上，如图1所示。

根据悬索桥挠度理可得经典的悬索桥垂向运动微分方程[1，9，10]：endprint

由于阻尼作用，结构的自由振动将快速衰减，因此可仅考虑受迫振动项对悬索桥的影响。此时结构垂向位移为：

从上式可知，结构将出现三个振动频率。

2 算例及有限元模拟

本节将以车辆过桥时的动力学行为列，来分析解析解的有效性。在此与有限元计算的结果为比较对象。某悬索桥参数如下[6，14]：桥长L=1490m，梁抗弯刚度EI=4.167×1011Nm2，主缆拉力的水平分力Hw=4.84×108N，主缆单位长度质量mc=7.634×103kgm-1，重力加速度g=9.8ms-2主缆长度Lc=1592m，主缆沿桥方向单位长度恒载G=7.6711×108Nm-1，梁单位长度质量md=1.8387×104kgm-1，主梁单位长度恒载gs=1.8019×104Nm-1，单位长度主缆和梁的质量和为m=2.6211×104kgm-1，单位长度主缆和梁的重力为W=gc+gs=2.56962×105Nm-1，两根主缆截面积和Ac=0.9469m2，主缆弹性模量Ec=2×1011Pa，跨中主缆垂度f=149m，悬索桥主缆线形y=4fl-2x（l-x），通过计算得到参数Lp=1612m，b=33.3897。

本文采用限元软件Ansys建立桥梁有限元模。将桥梁的梁、塔、主缆以及吊杆分别离散。桥主梁采用beam188单元，按吊杆与桥面连接处进行离散。主缆采用link10单元并设置为单向受拉杆单元进行模拟，并按照吊杆与主缆连接处进行离散。由于主缆在成桥状态下有初始应力，建模时候给主缆单元初始应变。应变大小按照主缆水平拉力Hw与主缆线形计算出各个节点处的主缆拉力[1，9，15]。

根据主缆弹性模量和截面积计算各个节点的应变。吊杆也采用link10单元并且设置为单向受拉杆。有限元模型如图2、图3所示。把上述资料数据带入有限元程序可得到各阶频率，以及根据（8）式计算的近似解析频率见表1。

通过误差分析可以发现，近似解析频率和有限元模拟频率在前2阶频率基本一致，高阶频率出现一定误差。基频的误差不到百分之二。在实际工程中结构，一般低频对结构的影响较大，因此使用Galerkin方法得到的基频是满足工程实际要求的。

此外，通过有限元模拟，可以得到各阶的模态。它们和本文采用的三角函数模态的对比如图4、图5及图6所示。

由图4和图5可以看出，一阶和二阶模态与有限元结果较为吻合。但图6显示，高阶模态和有限元的结果定性上一致，但定量上差别较大。

在计算车过时结构的振动时，取车载（：汽车重力100kN车速分别为36km/h、72km/h和108km/h）。把上述参数代入（13），可得结构的动力学响应解析解。取x=745以及x=372.5，可得左起二分之一和四分之一跨主梁的位移时程曲线。它们和有限元模拟的数值解结果如图7至图12所示。

上述对比可知，近似解析解和有限元的结果总体上趋势是一致的。解析解在垂直向上方向的位移和有限元接近，而向下的位移要小于有限元的结果。事实上，从方程（1）可知，悬索桥的数学模型中包含二次非线性项。结构振动时，此二次非线性项将使得振幅出现漂移，结果是桥面振动中心偏离静平衡位置[17]。本文得到的解析解没有考虑非线性项，因此计算的结果得到的垂向向下的位移小于有限元的结果。此外，从图7和图10可以看出，在车辆低速通过桥梁时，有限元的计算结果显示结构出现了较大幅值的高频振动，而解析解没有出现此高频振动成份。这可能是载荷的频率和结构的高阶模态产生了共振或组合共振，进而激发较大幅值的高频振动[17]。而且解析解忽略了自由振动的影响，事实上在无阻尼情况下，自由振动会被外载荷激发。因此，要精确的描述悬索桥的动力学特性，考虑非线性项以及桥梁阻尼是必要的。该问题我们将另文讨论。

3 结论

本文基于挠度理论建立悬索桥连续数学方程模型，使用Galerkin方法得到了考虑前3阶模态共同作用下，描述悬索桥车过载荷时的二阶常微分方程组。通过解析求解该微分方程组，并和有限元的计算结果进行比较，得到如下结论：①Galerkin方法得到的一阶和二阶频率和有限元结果一致，但三阶模态的频率比有限元的结果大10%；②在車过载荷作用下，三阶模态截断得到的解析解，很好的描述有限元计算结果的整体运动趋势。而且车辆的速度较快时，两者的结果符合的越好。

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