基于非线性状态估计的常见滤波算法性能研究

刘朋朋

【摘 要】对于车载组合导航定位系统，当姿态误差角较大或车辆机动性强时，系统状态方程和量测方程皆为非线性，为了提高导航定位精度，需要利用非线性滤波进行状态估计。本文从原理上阐述了四种常见的非线性滤波算法，并研究了各算法的性能差异。

【关键词】滤波算法；扩展卡尔曼滤波；无迹卡尔曼滤波；容积卡尔曼滤波；粒子滤波；估计精度；实时性

中图分类号：U666.1 文献标识码： A 文章编号： 2095-2457（2018）26-0138-001

DOI：10.19694/j.cnki.issn2095-2457.2018.26.061

Research on Performances of the Regular Filtering Algorithms for Nonlinear State Estimation

LIU Peng-peng1，2

（1.Sergeant School of Rocket Force，Qingzhou，Shandong，262500，China；

2.National Key Lab.of Armament Launch Theory & Technology，Rocket Force University of Engineering，

Xian，Shanxi，710025，China）

【Abstract】As for the vehicle integrated navigation and positioning system，when the attitude error angles are large or the vehicle maneuvers quickly， the systems state equation and measurement equation are nonlinear；so nonlinear filtering algorithms should be used according in order to improve the accuracy of navigation and positioning.Four regular nonlinear filtering algorithms are stated in this paper，and their different performance is studied.

【Key words】Filtering algorithm；Extended Kalman filter；Unscented Kalman filter；Cubature Kalman filter；Particle filter； Estimation accuracy；Real-time performance

车载组合导航定位系统通常是以捷联惯导系统为主系统，组合其他定位系统，通过滤波算法将各传感器测量的数据进行融合后，对载车的实时状态或状态误差进行估计，取得高于单独使用一种系统的导航定位精度，具有非常高的容错性和可靠性。

当姿态误差角较大时，车载组合导航定位系统系统方程和量测方程均呈现非线性，此时采用卡尔曼滤波，定位的精度将会大大降低。为了提高车载组合导航系统的精度，卡尔曼滤波器在线性高斯卡尔曼滤波的基础上向着非线性非高斯滤波的方向发展，如扩展卡尔曼滤波、无迹卡尔曼滤波、粒子滤波、容积卡尔曼滤波等。本文从原理上分析了以上四种常见的非线性滤波算法在组合导航定位系统中的应用，为组合导航定位中的算法应用提供参考。

当失准角较大或载车机动时，组合导航系统属于非线性系统，此时利用线性卡尔曼滤波器，会导致精度不高，甚至滤波发散，因此，需利用非线性滤波器进行滤波，从而实现组合导航定位处理。下面对当前几种常用的非线性滤波器从原理上进行阐述和研究。

1 非线性状态空间模型

本文研究的对象为非线性离散时间下的状态空间模型，其狀态方程与量测方程表达式分别为：

其中，Xk表示目标在k时刻的系统状态向量，Zk为k时刻系统状态的量测值。f和h分别是系统的状态转移方程和量测方程，二者均为非线性函数。g和j为适当维数的系数矩阵。系统噪声wk是均值为零，方差为Qk的高斯白噪声序列。量测噪声vk与系统状态噪声相互独立，是均值为零，方差为Rk的高斯白噪声。

2 扩展卡尔曼滤波（EKF）

20世纪60年代提出的扩展卡尔曼滤波（Extended Kalman Filter，EKF）属于次优滤波器，它是将非线性系统模型一阶或二阶泰勒级数展开，使非线性函数线性化，从而利用卡尔曼滤波的框架结构进行滤波。

EKF的缺点是仅仅利用了非线性函数泰勒展开式的一阶或一、二阶偏导数部分进行近似，精度最多只能达到二阶精度，并且算法需要计算雅可比矩阵，当系统状态为多维时计算量比较大；另外在强非线性和非高斯环境下跟踪性能较差，甚至出现滤波发散。

3 无迹卡尔曼滤波（UKF）

无迹卡尔曼滤波（Unscented Kalman filter，UKF）是基于“对概率密度分布近似要比对非线性函数近似要容易实现”的思想提出的，它也是基于线性卡尔曼滤波的基本框架，采用UT（Unscented Transformation）变换取代局部线性化，通过具有不同权值的2n+1个确定性Sigma采样点，经非线性函数传播来逼近高斯状态分布的均值和方差，采样点经过非线性系统方程转换后捕获的后验均值和方差能够精确到非线性系统泰勒级数展开的三阶项，因此UKF精度能达到三阶精度，高于EKF的二阶精度，而计算量却与EKF相当，但它不（下转第147页）（上接第138页）用计算雅可比矩阵，UKF仍假设系统噪声服从高斯分布，但不要求系统是近似线性的。

4 粒子滤波（PF）

粒子滤波（Particle Filtering，PF）算法，基于蒙特卡罗（Monte Carlo，MC）和递推贝叶斯估计，利用状态空间中一系列加权随机样本集来近似系统状态的后验概率密度函数，以样本均值来代替积分运算，然后根据观测量不断地调整粒子的权重和位置，并通过调整后验粒子的信息，修正最初的先验条件分布，从而获得状态最小方差的估计过程。该算法是一种近似最优滤波，理论上可适用于任何能用状态空间模型表示的非线性非高斯系统，该方法不受线性化误差和高斯噪声假定的限制，可以处理强非线性、非高斯噪声系统模型的滤波。但粒子权重的方差增大会引起严重的粒子退化问题。随着PF算法迭代次数的增加，PF中的粒子只有一个或几个保持较大的权值，而大多数粒子的权值退化到几乎为0，造成粒子退化问题。

5 容积卡尔曼滤波（CKF）

为了克服UKF在高维系统中出现的数值不稳定以及精度降低等问题，加拿大学者Arasaratnam等基于spherical-radial cubature准则和球面-径向积分原理，提出了容积卡尔曼滤波[9-11]（Cubature Kalman filter，CKF），应用于高维非线性系统，具有较好的稳定性和精度。CKF基于高斯滤波框架，采用cubature规则近似非线性函数传递的后验均值和方差，与UKF相比，CKF的理论推导更为严密，CKF的采样点比UKF采样点少一个，通过2n个同等权值且都大于零的Cubature点经非线性系统方程转换后产生新的点来给出下一时刻系统状态的预测，同样无需对非線性模型线性化，CKF滤波器的方差阵能够保持正定，使CKF对高维系统具有更好的估计性能。

总结四种非线性滤波算法的适用范围，如表1所示，它们都可应用于线性高斯条件，PF算法应用范围最广，还可应用于非线性条件和非高斯噪声下，CKF和UKF可应用于非线性高斯条件，而EKF只能适用于弱非线性条件下。

本文从原理上对四种常见的非线性滤波算法进行了研究，为车载组合导航算法的选取提供了一定参考价值。四种滤波算法都采用其标准形式，当噪声未知或发生时变情况下，滤波会出现逐渐发散的趋势，所以应该对非线性滤波器的适应能力进行提高，下一步研究方向是将自适应算法或强跟踪算法与非线性滤波进行结合。