矩阵的广义逆的求法及应用

刘浩翔

摘 要：矩形的广义逆被广泛应用于不同的学科领域，在理论和实践中都起着十分关键的作用。矩阵的广义逆在科学理论基础上得到发展，应用最多的范围有：数值代数、微积分、电网络分析、最优化以及测量学等方面。本文例举了广义逆矩阵在光学自动设计、OPDM系统等实际领域的应用。主要对矩形广义逆的定义和其性质进行分析，并从不同方面介绍广义逆的应用。

关键词：矩阵 广义逆 求法 应用

中图分类号：O15 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2017）11（a）-0224-02

矩阵广义逆是一个具有很高应用价值的数学理论基础，它是数学科学的一个分支理论。在处理一些有限维空间形式以及数量关系时，研究者们通常会采用广义逆矩阵达到精确处理的目的。随着信息时代的脚步越来越快，人们大量使用计算机处理技术问题，这也为矩阵广义逆理论的发展和应用提供了机遇。矩阵广义逆目前应用于系统辨识，控制论，规划论，测量，计量学和统计学等多方面。

1 矩阵广义逆的定义

（1）A是任意重复的矩阵，如果存在一个Y能够满足一个Moore—Penroce方程，且该方程满足以下条件：AYA=A，YAY=Y，（AY）=YA，（YA）Y=A。

此时，我们把Y称为A的一个Moore-Penroce广义逆，也可以简称为A的加号逆，记为Y=A。

如果这个Y不能满足以上所有条件，而只能够满足其中部分条件，就把它记作A的某几条广义逆。当该Y能够满足条件AYA=A时，我们把它称作A的{1}广义逆，也可以简称为A的减号逆；当该Y能够同时满足条件AYA=A和YAY=Y时，我们就把Y称作A的{1，2}广义逆，即Y=A{1，2}∈A{1，2}。

（2）我们把A设为一个m行n列的矩阵，如果Bij的级数等于Aij，就有A+B=（Aij+Bij）rxr。

（3）设A为一个m行n列的矩阵，如果/A/≠0，我们称A为广义非奇异矩阵，相反地，如果/A/=0，我们就说A是一个广义奇异矩阵。

2 矩阵广义逆的应用

矩阵广义逆应解方程组的解题需要而出现，最早可以追溯到上世纪初，科学家学者在对于积分运算时研究得到积分算子的广义逆，而后不断有学者将其推广和发展，在发展过程中，广义逆矩阵的应用范围也逐步扩展，到今天为止，广义逆矩阵以广泛应用于许多领域。

2.1 广义逆矩阵应用于估计OPDM系统信道

OPDM系统是一种同时兼具时域和频域两种信号的多载波系统，时域和频域这两种信号在数学领域都可以用序列符号来表示，所以对于这种序列形式的处理，我们可以把它看成是对于数学矩阵的运算，也正是因为OPDM系统的这个特点，在处理OPDM系统问题时，可以使用矩阵广义逆的相关理论基础来进行研究和解答。在解决OPDM系统问题时，应用了矩形广义逆的一个重要的理论作为基础：时域的卷积可以用矩阵向量的乘积来表示，而此时的时域序列就成为了矩阵乘积，我们就可以通过对矩阵广义逆的分析来进行对实际问题的解决。在对矩阵向量的推导过程中有以下公式：HT=H1TH2，通过上文我们得出的理论基础与该公式相结合可以达到实际解决该问题的目的。矩阵广义逆在OPDM系统中的应用，不仅方便了OPDM的运行，也为人们对信道和信号等领域的研究和新理论应用的研究开拓了新的方面，合理使用广义逆对多领域有着很重要的辅助意义。

2.2 矩阵广义逆应用在光学自动设计

光学自动设计是建立在物理科学基础上的，在光学的应用方面发展起来的一个新型物理技术设计概念。光学自动设计对光学系统有两方面的要求：（1）光学特性；（2）成像品质。作为光学理论的衍生设计，光学设计问题从数学角度来看就是要建立和求解一个像差方程组，这个过程就是根据系统要求的像差值从像差方程组：f1（x1，.......xn）=F1 fm（x1........xm）=Fm中找出所要求的解：x1.......xn，這就是我们要求得结构参数。在实际上，找不到函数的具体形式，只有在给出了系统参数时才能够用计算数值的方法求得所要的函数值。

在光学透镜的自动设计过程中，研究者发现了其中存在的两方面的问题：（1）如何处理解决病态矩阵；（2）怎样消除和消退像差对透镜自动设计的影响。这两个问题使用其他数学方法都很难有效解决，这时候矩阵的广义逆的使用就能够对这两方面的问题统一进行处理，无需分开下手，能够高效解决问题。在实际处理光学自动设计问题时，我们常将广义逆矩阵与阻尼最小二乘法以及正交化法等数学方法进行合理地结合，使问题处理事半功倍。除了这两种结合方式，适当地使用一些数学算法，计算程序以及逻辑关系，可以使我们在处理过程中减少一些不必要的计算和转化，能够更加高效、科学地对光学自动设计问题进行处理。这也增强了矩阵广义逆的实用性。

2.3 矩阵广义逆应用在嵌入式大气数据传感系统中的应用

众所周知，大气数据传感系统是一种对大气数据进行综合的、高精度的提供的信息系统。嵌入式大气系统的使用对大气观测和人类生活有十分重要的意义。而一个大气数据传感系统由多个软件和结构组成，对数据的运算就显得非常重要了。矩阵的广义逆在嵌入式大气数据传感系统中的应用十分必要。矩阵的广义逆可以处理嵌入式大气处理系统的数据算法，可以对系统算法进行合理的改进和设计，以此达到实现系统简化，减少系统运行负担的目的。系统处理人员将系统的静压、参数等方面的问题进行算法改进，这些都必须要以Moore-Penrose广义逆矩阵作为运算和改进的基础。使用矩阵的广义逆还可以对大气数据传感系统进行收敛性分析，运算过程精简，算法明晰。得到的数值可以通过其他软件进行数字的检验，通过对大气数据传感系统的矩阵的广义逆和数字检测软件的联合应用，可以发现，这种算法改进具有积极意义和高实现性，一些矩阵的广义逆的求解过程可以被省略，这种方式大大减少了实际计算量。矩阵的广义逆的选代过程被减少，实际操作起来也可以大大节省计算时间。在相同的计算时间下，可以完成更多的任务，同样的，在保证相同精确度计算的同时，所用的时间相对较少。这一发现也为我们将广义逆应用在其他领域开发了新道路，即可以将广义逆理论与其他算法和软件相结合，以达到高速、高效的目的。

3 结语

综上所述，广义逆作为一种数学算法，具有很高的应用性，除了对数学矩阵的计算还可以对其他应用领域的一些系统和数值进行方程运算，广义逆矩阵的求解过程有很多种，广义逆的类型也不尽相同，本文列举了其中几个命题和推论过程，并举例说明在一些实际应用领域对广义逆矩阵的使用，以及广义逆矩阵在应用中所能达到的运算目的。除了本文列举的几个应用领域，广义逆矩阵还常被应用在一些方案修改、线性方程组的研究、离散型动态投入产出模型的求解、PADE的pfaftan的计算公式的推导等方面。这些方面的应用体现了广义逆矩阵所蕴含的数学理论和科学性以及数学美的体现。

参考文献

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