例谈算法中的交汇问题

陈国林

1. 引言

算法是高考每年必考内容，多以客观题形式出现，难度为中等或中等以下，考查方式多为程序框图，按题型划分主要有求结果、填补过程、求输入参量三类，它的考查方式十分灵活，具有常考常新，活而不难的特点.并且此类问题常和其他知识交汇，其中与函数、三角、不等式、数列、概率与统计的交汇是高考热点.

2. 算法综合试题呈现

2. 1算法与概率、统计的交汇问题

【例1】随机抽取某中学甲、乙两个班各10名同学，测量他们的身高获得身高数据的茎叶图如图（1），在样本的20人中，记身高在[150，160），[160，170），[170，180），[180，190）的人数依次为A1，A2，A3，A4. 如图（2）是统计样本中身高在一定范围内的人数的算法框图.若图中输出的S=18，则判断框内应填________.

【解析】由于i从2开始，也就是统计大于或等于160的所有人数，于是就要计算A2+A3+A4，因此，判断框应填“i<5？”或“i≤4？”.

【点评】解决循环结构的程序框图问题要注意几个常用变量：

①计数变量：用来记录某个事件发生的次数，如i=i+1.

②累加变量：用来计算数据之和，如S=S+i.

③累乘变量：用来计算数据之积，如p=p×i.

2. 2算法与三角函数的交汇问题

【点评】本题是条件结构的程序框图，条件结构主要用在一些需要依据条件进行判断的算法中，解决此类问题必须准确判断输出结果时的判断条件，否则极易出错.

2. 3算法与函数的交汇问题

【例3】执行如图所示的程序框图，如果输入的t∈[-1，3]，则输出的S属于（ ）

【点评】含有条件结构的程序框图用在需要对条件进行判断的算法程序中，恰好可看做为分段函数的算法表示，充分体现了分类讨论的思想，解决此类问题务必需要分清各层条件的逻辑关系.

2. 4算法与不等式的交汇问题

【点评】解决本类问题先从宏观理清框图是解决什么具体问题的，然后需要严格根据算法程序步骤执行其流程要求，如果对于比较复杂的循环程序，可以将每个变量进行一一列出，这样便于发现和总结规律，如等差、等比数列通项、周期以及前n项和等；如果循环次数较少，可以将其全部列出.也可直接通过观察，对程序框图内容进行初步判断，例如本题实为裂项法求数列的和，然后求解即可.

2. 6算法与数学文化交汇问题

【例6】“欧几里得算法”是有记载的最古老的算法，可追溯至公元前300年前，上面的程序框图的算法思路就是来源于“欧几里得算法”，执行该程序框图（图中“aMODb”表示除以的余数），若输入的a，b分别为675，125，则输出的a=（ ）

A. 0 B. 25 C. 50 D. 75

【解析】当a=675，b=125，c=aMODb=100，a=125，b=100，此时c=100，否，c=125MOD100=25，a=100，b=25，否，c=100MOD25=0，a=25，b=0，c=0，是，输出a=25，选B.

【点评】数学文化与程序框图的交汇是近几年高考热点，此类问题归根到底就是由数学文化引出数学背景，实质还是算法的交汇问题，有时还会以新定义或是新运算的形式考查学生对新信息的处理能力.

3. 跟踪训练

1. 如图所示的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”执行该程序框图，若输入的，分别为30， 18，则输出的a值为（ ）

A. 0 B. 2 C. 6 D. 14

【解析】由程序框图可以知道：当a=30，b=18时，满足a>b，则a变为30-18=12，由b>a，则b变为18-12=6，由b

【解析】当条件x≥0，y≥0，x+y≤1不成立时输出S的值为1，当条件x≥0，y≥0，x+y≤1不成立时S=2x+y，下面用线性规划的方法求此时S的最大值.作出不等式组x≥0，y≥0，x+y≤1表示的平面区域如图中阴影部分所示，由图可知当直线S=2x+y经过点M（1，0）时S最大，其最大值为2×1+0=2，故输出S的最大值为2.

4. 公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形的面积无限接近圆的面積，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”，刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”，如图所示是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序，则输出的n值为（ ）

【解析】由程序框图的第一个判断条件为f（x）>0，当f（x）=cosx，x∈[-1，1]时满足，然后进入第二个判断框，需要解不等式f（x）=-sinx≤0，即0≤x≤1.故输出区间为[0，1].

6.（2016·成都诊断）图1是某地区参加2017年高考的学生身高的条形统计图，从左至右的各条形图表示的学生人数依次记为A1，A2，A3，…，A10（如A2表示身高（单位：cm）在[150，155）内的学生人数）. 图2是图1中统计身高在一定范围内学生人数的一个算法程序框图. 现要统计身高在[160，180）内的学生人数，那么流程图中判断框内整数k的值为__________.

【解析】依题意，注意到身高在[160，180）内的学生属于第4组至第7组，因此结合题中的程序框图可知，流程图中判断框内整数k的值是7.故填7.

4. 结语

算法考查是高中数学重要的知识系列，难度一般不大，它注重知识的基础性、综合性、交汇性和创新性. 由于交汇型的试题不仅能够全面的考查知识之间的内在联系，而且能够考查学生的基础知识和基本技能，在历年高考中算法考查注重基础，因此每位考生都需要做到细心应对，方能胜券在握.

责任编辑 徐国坚