C2⊗C2中的互不偏袒极大纠缠基

贾艳萍，李秀兰

(山西大同大学量子信息科学研究所，山西大同 037009)

C2⊗C2中的互不偏袒极大纠缠基

贾艳萍，李秀兰

(山西大同大学量子信息科学研究所，山西大同 037009)

互不偏袒基和极大纠缠基不仅是很有趣的数学概念也是量子信息领域的重要研究内容，其存在性至今仍然没有得到彻底解决。通过构造2阶矩阵空间中由酉矩阵组成的互不偏袒Hilbert-Schmidt基得到了C2⊗C2中的一组互不偏袒极大纠缠基。

互不偏袒基；极大纠缠基；量子信息

互不偏袒基是量子信息理论中的重要概念，在量子信息处理技术中有着非常重要的作用。近年来的研究表明，互不偏袒基已成为研究量子信息处理技术的重要工具之一。有着深刻的量子力学内涵。最早是Schwinger在1960年研究量子系统观测量的互补性问题时引入的[1]。而量子系统的互补性是量子系统的基本性质之一，早在量子力学理论建立初期，Bohr在解释波粒二象性时就指出量子系统具有互补性[2]。如果其中一种物质（比如粒子的位置）是完全确定的，那么它的互补性（比如粒子的动量）是完全不确定的。即这两种性质彼此不相容但同时又都是不可或缺的，或者说是既互斥又互补的。

纠缠态作为一种物理资源，在量子隐形传态、量子密钥分配、量子计算等方面起着重要作用，其中极大纠缠态尤其重要。在有限维系统中，一个量子态，如果可以表示成，则称是极大纠缠态[3-4]。其中分别是和的标准正交基。d⊗d系统中极大纠缠态一定是纯态。如果中的一组标准正交基都是由极大纠缠态构成的，则称这组基为极大纠缠基。

定义1设是的一组Hilbert-Schmidt基。若是酉矩阵，则称Γ是Md×d的一组酉Hilbert-Schmidt基。

定义2设和是的两组标准正交基。如果这两组基满足，∀1≤i,j≤d。则称它们是互不偏袒的，或称它们是互不偏袒基（MUB）。

互不偏袒基是Hilbert空间中比较复杂的数学问题。已有文献证明，在Cd中至多有d+1组互不偏袒基。但互不偏袒基的存在性目前只对于d≤5的情形有明确结论，对于d≥6的情形仍然没有得到解决。构造互不偏袒基很复杂，构造互不偏袒极大纠缠基就更不容易了。

下面给出当d=d'=2时，即C2⊗C2空间中的一组互不偏袒极大纠缠基。

设

容易验证B0，B1，B2中的四个矩阵都是酉矩阵，并且这些酉矩阵基构成Hilbert-Schmidt基(相差一个系数2)，即满足

其中Ui，Uj∈Bk，k=0,1,2。通过变换

利用(2)式，分别把B0，B1，B2中的四个酉矩阵分别转化为三组向量

[1]SCHWINGER J.Unitary operator bases[J].Proc Nat Acad Sci USA,1960,46：570-579.

[2]BOHR N.Das Quantenpostulat und die neuere entwicklung der atomistik[J].Naturwissenschaften,1928,16：245.

[3]郭钰.量子关联的数学刻画[M].北京：科学出版社，2016.

[4]GUO Y,DU S P,LI X L,et al.Entangled bases with fixed Schmidt number[J].J Phys A：Math Theor,2015,48：245301.

[5]CHAKRABARTY I,AGRAWAL P,PATY A K.Locally unextendible non-maximally entangled basis[J].Quant Inf Comput,2012,12：271.

[6]NAN H,TAO Y H,LI L S,et al.Unextendible maximally entangled bases and mutually unbiased bases inCd⊗Cd'[J].Theor Phys,2015,54(3)：927-932.

Mutually Unbiased Maximally Entanglement Bases inC2⊗C2

JIA Yan-ping，LI Xiu-lan
(Institute of Quantum Information Science，Shanxi Datong University,Datong Shanxi，037009)

The mutually unbiased bases and the maximally entangled basis are not only very interesting mathematic concepts but also of crucial importance in quantum information theory.The existence of such bases still remain open by now.We propose here a group of mutually unbiased maximally entanglement bases inC2⊗C2.

mutually unbiased bases;Maximally entanglement basis;quantum information

O151.2,O413.1

A

1674-0874(2017)06-0016-02

2017-08-16

国家自然科学基金项目[11301312]；山西省自然科学基金项目[201701D121001]；山西大同大学博士科研启动资助项目[2011-B-01]

贾艳萍(1982-)，女，山西朔州人，硕士，讲师，研究方向：泛函分析与量子力学。

〔责任编辑 高海〕