瑞利阻尼在Abaqus中的实现

王飞 王衔 陈涛 顾浩声

摘要：为充分体现结构阻尼对结构振动响应的影响，在结构动力响应有限元分析中加入经典的瑞利阻尼，并在Abaqus中进行匀质梁的弯曲和轴向简谐振动分析，然后与结构动力学理论解进行对比，研究瑞利阻尼在Abaqus中的实现方法。结果表明：有限元动力响应分析结果与理论结果吻合良好，该方法可以准确实现在Abaqus中添加瑞利阻尼。

关键词：瑞利阻尼；结构阻尼；匀质梁；简谐振动；动力响应

中图分类号：TU311.3

文献标志码：B

0 引 言

结构振动不可避免地会受到阻尼的作用[1]，能量在振动中不断耗散。经典阻尼是结构所有部位都具有相似阻尼机制时的一种合理抽象，瑞利阻尼是根据振型阻尼比建立结构经典阻尼矩阵的重要方法。[2]

作为结构动力学分析的重要手段，有限元在复杂结构中应用广泛。因此，本文探究如何在商业有限元软件中实现瑞利阻尼，并利用经典的结构动力学算例，证明该方法的可行性。

1 瑞利阻尼

瑞利阻尼假定結构阻尼与质量矩阵和刚度矩阵的组合成一定比例，是对质量比例阻尼和刚度比例阻尼的一种改进[3]，其认为圆频率与阻尼比的关系式为

瑞利阻尼圆频率与阻尼比的关系见图1。

在应用中，ωm通常取多自由度体系的基频，ωn在对结构振动有显著贡献的高阶振型中选取。这样，具有高频率的振型反应将因其高阻尼比而被有效地消除。[3]

2 单自由度黏滞阻尼体系简谐振动

单自由度黏滞阻尼体系简谐振动见图2。根据结构动力学理论[2]，单自由度黏滞阻尼体系在简谐载荷下的运动方程为

由此可以完全确定体系在简谐载荷下的振动情况。

3 有阻尼简支匀质梁弯曲简谐振动

3.1 有阻尼简支匀质梁的弯曲振动微分方程

简支匀质梁及其阻尼组成示意见图3。

假定该简支匀质梁内的阻尼由与绝对速度有关的外阻尼力fD和材料应变的黏滞阻尼力σD这2种成分组成。

当梁各点以横向位移u（x，t）弯曲振动时，设黏滞阻尼系数为C（x），则外阻尼力

可以使得匀质梁各阶振型相互独立，并且在广义坐标（将在第3.2节详述）下各阶阻尼如式（1）形式。

3.2 有阻尼简支匀质梁弯曲简谐振动理论解

简谐载荷下的简支匀质梁见图4。

由式（3）可得第j阶振型对应的广义坐标下的qj（t），其系数可由式（7）～（10）获得，再将结果代入式（17）中可得到u（x，t）。

假设匀质梁截面为圆形，参数见表1。若总振动时间为20 s，则可在MATLAB中通过简单程序实现各阶振型下的振动叠加。理论上，结构振动应该是无穷阶振型的叠加，但实际计算发现，第7阶振型振动的最大值已经是基础振型下的振动最大值的0.01%左右，故本文只叠加前7阶振型，结果将在第3.3节讨论。

3.3 有阻尼简支匀质梁弯曲简谐振动有限元模型

在Abaqus中采用梁单元建立匀质梁模型，见图5。在详细计算前，利用Abaqus结构频率分析确定合适的单元尺寸。改变单元尺寸，并将Abaqus得到的频率与式（20）进行比较，结果发现当单元尺寸为梁长度的1%时，Abaqus模型的前5阶振型误差在3‰以内，简支匀质梁弯曲频率分析结果与理论解对比见表2。因此，采用的单元长度为0.1 m。

在模型的材料属性中添加瑞利阻尼，选项“Alpha”和“Beta”分别对应式（1）中的a0和a1。经过计算，a0=0.102 4，a1=0.015 6。将a0和a1输入并添加载荷，进行20 s动力学模拟，与前文计算结果进行比较，结果见图6。由此可知：在Abaqus中施加瑞利阻尼的结果与理论解吻合良好；在阻尼比仅为0.05的弱阻尼体系中，振动后半段的阻尼也会对振动峰值和相位产生较大影响。

4 有阻尼简支匀质梁轴向简谐振动

4.1 有阻尼简支匀质梁的轴向简谐振动振型分析

简谐载荷下的匀质悬臂梁见图7。依据文献[5]，仅考虑轴向简谐振动时悬臂梁的第j阶自振圆频率为

4.2 有阻尼简支匀质梁的轴向简谐振动理论解

其余步骤完全同第3.2节。

4.3 有阻尼简支匀质梁轴向简谐振动有限元模型

假设匀质梁截面为正方形，参数见表3，总振动时间为20 s。在Abaqus中采用实体单元建立模型，见图8。将得到的前5阶振型频率与式（25）进行比较，见表4。由此可以发现，当实体单元尺寸为梁长度的0.2%时，误差稳定在0.7%以内，故采用的单元尺寸为0.002 m。瑞利阻尼的施加与第3.3节相同。此处考虑到文献相关理论推导中轴向载荷都是均匀分布在末端界面上的，所以将末端集中载荷变为均布压强载荷。Abaqus数值模拟结果与第4.2节理论解的比较见图9，结果再次显示添加的瑞利阻尼的正确性。

6 结束语

瑞利阻尼是根据振型阻尼比建立结构阻尼矩阵的经典方法。本文探究如何在商业有限元软件Abaqus的结构振动分析中实现瑞利阻尼。

采用简支匀质梁的弯曲简谐振动和匀质悬臂梁的轴向简谐振动算例，与结构动力学理论解进行对比，证明有限元动力响应分析结果与理论结果吻合良好。由此可见，本文提出的方法可以准确实现在Abaqus中添加瑞利阻尼。

参考文献：

[1] 朱慈勉， 张伟平. 结构力学（下册）[M]. 2版. 北京： 高等教育出版社， 2009： 84-137.

[2] CHOPRA A K. 结构动力学： 理论及其在地震工程中的应用[M]. 4版. 谢礼立， 等译. 北京： 高等教育出版社， 2016.

[3] CLOUGH R W， PENZIEN J. 结构动力学[M]. 2版. 王光远， 等译. 北京： 高等教育出版社， 2011： 183-187.

[4] 张相庭， 王志培， 黄本才， 等. 结构振动力学[M]. 2版. 上海： 同济大学出版社， 2005： 109-116.

[5] CRAIG R R. 结构动力学[M]. 常岭， 等译. 北京： 人民交通出版社， 1996： 154-156.

（编辑 武晓英）