教学“钢管堆放”之所想

贺 群

(合肥市虹桥小学 安徽合肥 230001)

五年级“多边形面积计算”单元中有一道“钢管堆放”题，题目如下：小明参观钢铁厂时看到许多钢管堆成如下形状：最上层有9根，最下层有16根，共8层。可以用什么方法算出这堆钢管一共有多少根?它和梯形面积的计算方法有联系吗?

这是一道传统的数学题，在我上小学时就有这一题，依稀记得当年老师说钢管的横截面是梯形，所以求钢管的根数就用梯形的面积公式。没有更多的思考，也就没有更多的疑问，当年的我只是记住了解这题的方法，能求出正确的答案。今天成为数学老师的我，再拿起这题仔细一看，才发现没有这么简单。钢管堆放时下面每层都比上面一层多放一根，堆成的横截面近似梯形，但这里是求钢管的根数，其实是求9+10+11+…+16这样一个等差数列的和。它与梯形面积公式是如何联系起来的呢？如何站在小学生的角度，根据小学生现有的知识结构引导他们理解这个问题呢?我翻阅着教师参考书，书上没有这样的解答，我陷入了思考……

课堂上我一出示这道题时(前一天已布置学生预习)，就有学生举手回答说：“(9+16)×8÷2=100”。再问他：“你是怎么想的?”他说：“因为钢管堆成了梯形，所以就用梯形的面积公式来算。”我又问：“赞成他的想法吗?”学生们都说赞成。“有没有不同的想法或者疑问?”同学们沉默了。

我接着引导：“这题是求钢管的根数，而梯形的面积公式是用来求面积大小的，这钢管的根数怎么就可以用梯形的面积公式来求呢?”我环顾教室，只见管元昊站起来说道：“我们可以把一个钢管的横截面看成占一个方格，那整个钢管横截面的格数就是一个梯形，这个梯形的面积占多少格，就说明钢管有多少根。”“说得太好了，所以钢管的根数就是梯形的面积。”我由衷地赞道。我明白他的意思：占一个方格就是指一个面积单位，我们计算一个平面图形的面积正是计算它含有多少个面积单位。

“如果我们继续照这样往这堆钢管上再添加钢管，直到最上面为一根钢管时，这堆钢管有多少根呢?”我一边抛出了新问题，一边出示完整的钢管横截面图。

“还是用梯形的面积公式来求，(1+16)×16÷2=136。”“不对，这个图形是三角形，所以应该用三角形的面积公式：底乘高除以二，16×16÷2=128。”两名学生争论起来。

“到底谁说的对呢?请你们用自己的方法验证一下。”

“老师，我数了一下，上面增加了36个，加上原来的100个，一共是136个，应该用梯形面积公式来求。”

“那，还有什么问题想提出来吗?”我问。“老师，为什么横截面是三角形而却用梯形面积公式计算呢?”“是啊，这是为什么呢?”我把球又踢给了学生。不一会儿，薛前进站起来说道：“最上面的这一根钢管可以看作占一格，那这个横截面就是梯形，而不是三角形。所以应该用梯形面积公式来计算。”

“是啊，1+2+3+4+…+16是个等差数列，发现数字之间的规律了吗?这样的算式我们可以模仿梯形面积公式来计算，看看算式中的哪些数相当于梯形中的上底、下底和高?”同学们比较着、思考着、讨论着……

“著名数学家高斯小时候上学时，老师有意出了这样一道数学题：1+2+3+……+100=?，来惩罚不守纪律的学生，没想到几分钟后高斯就报出了正确答案，你们知道他是怎样算的吗?”“我知道、我知道！”学生们纷纷叫道，“他就是用梯形面积公式来算的，用第一个数加上最后一个数，然后再乘所有数的个数再除以2得来的，(1+100)×100÷2=5050。”

至此，钢管堆放问题顺利解决，学生们不仅弄明白了钢管根数和梯形面积的关系，还举一反三弄明白了等差数列的计算方法。

回想教学开始，当学生们都认为计算钢管的根数就是求梯形的面积时(可能受到问题的暗示：它和梯形面积的计算方法有什么联系吗?还可能从书上给出的钢管的横截面是梯形，就会不假思索、想当然地认为求钢管的根数就是求梯形的面积。)我提出问题：“有没有不同的想法或疑问?”以期引起学生对问题进行深入思考。学生仍没有反应，我接着追问：“这题是求钢管的根数，而梯形的面积公式是用来求面积大小的，这钢管的根数怎么就可以用梯形的面积公式来求呢?”这个问题的解决正是沟通了等差数列和梯形面积的关系。在我的精心预设下，出现了精彩的课堂生成：管元昊说计算平面图形的面积，就是计算平面图形中含有多少个面积单位，从而迁移到一个钢管横截面就是一个面积单位，有多少根钢管就有多少个单位面积，很好地解释了钢管根数和梯形面积的关系。如果我在备课时，没有深入地思考这些问题，认真地领悟编者的意图，是不会提出这样有价值的问题的。及至后来学生的发现：当钢管的横截面堆成三角形时，计算钢管的根数仍用梯形面积公式，因为这个横截面看似三角形实际仍是梯形。再由求钢管根数到高斯的数学题，一步步地将问题引向深入，教学由生活化到数学化，由具体到抽象，学生的思维能力也一步步地得到提升。由此我体会到：精心地备课、精心地预设是教学成功的重要保证。没有精心的预设就没有精彩的课堂生成。

郑毓信教授说：“通过深入揭示隐藏在具体数学知识背后的思维方法，可以把数学课真正‘讲活’‘讲懂’‘讲深’：通过方法论的重建，我们可以向学生展现‘活生生的’数学研究工作，而不是死的数学知识，这就是所谓的‘讲活’；还可以帮助学生真正理解有关教学内容，而不是囫囵吞枣、死记硬背，这就是‘讲懂’；我们在教学中又不仅使学生掌握具体的数学知识，而且也能帮助学生逐步领会乃至掌握内在的思维方法，这也就是所谓的‘讲深’。”数学是思维的体操，数学教师要把握数学教学的实质，数学教学应姓“数”，数学教学离不开数学思维。那种只求学生会做题、做对题的想法是不全面的、狭隘的，长此以往，学生就会养成不求甚解，只知其然而不知其所以然，不利于学生养成数学思维。在数学教学中努力提高学生的数学思维水平，是我们数学教师孜孜以求的重要教学目标。