转化思想在数学解题中的应用

张潇依

数学问题的形式千变万化，结构错综复杂，特别是一些难度较大的综合题。我们在解决这些问题时，往往不是直接解决原问题，思考的着重点就是把需要解决的问题转化为能解决的问题或容易解决的问题。也就是说，在求解不易直接或正面找到解题途径的问题时，我们往往转化问题的形式，最终把它转化成一个或若干个熟知的或已能解决的问题，这就是数学上解决问题的一种基本思想——转化思想。

一、转化思想的意义

数学问题的解决过程实质上是一种思维活动的转化过程。所谓转化，就是在分析解决问题时，把那些待解决或难解决的问题，通过有意识的知识迁移——“转化”，把未知解的问题转化为已知解的问题解决，把不熟悉、不规范的、复杂的问题转化为熟悉、规范、简单的问题，从而获得原问题的解。

利用转化法解决问题的过程可以简单、直观地用以下框图表示：

转化法是一种分析问题、解决问题的基本思想方法。将待求的A问题转换为相对于求解者来说已能解决的B问题，问题的转换是转化的关键。如学完一元一次方程、因式分解等知识后，学习一元二次方程我们就通过因式分解等方法，将它转化为一元一次方程来解决。又如在平面几何中我们在学习了三角形的内角和定理后，对n边形的内角和，也是通过分解、拼合为若干个三角形来加以解决的。

二、转化的原则

轉化思想具有灵活性和多样性的特点，所以我们在运用转化思想的方法去解决问题时，没有一个统一的模式。它可以在数与数、数与形、形与形之间进行转化；它可以在宏观上进行转化，如在分析和解决实际问题的过程中，普通语言向数学语言的转化；它可以在符号系统内部实施转化。我们经常在函数、方程、不等式之间进行转化，遇到问题，通过转化，化难为易，化繁为简，化抽象为具体，从而简化解题过程。比如从无理式到有理式、从分式到整式的转化等。转化不能盲目进行，为了实施有效转化，我认为一般应遵循如下原则。

1.熟悉化原则

熟悉化就是把我们感到陌生的问题通过变形转化为比较熟悉的问题，转化的方向朝着熟悉化，把生僻的问题转化为熟悉的问题。这里的熟悉指的是“已知”或已掌握的“知识”和“方法”。“新”东西化作原有的“旧”东西，从而使我们能够充分利用已有的知识和经验使问题得到解决。

例：解方程

分析：这是一个以x为未知数的一元三次方程，但是我们对三次方程的解法是比较陌生的，而对一次或二次方程的解法则比较熟悉，因此，我们理所当然的希望能把它转化为一次或二次方程来处理。注意到原方程的特点，可以看出：若把x看作“已知数”，而把 看作“未知数”，则原方程便可看作关于 的“二次方程”，我们就 解出原方程，也许能得到关于x的一次或二次方程，从而可能将原问题转化为熟悉的问题而得到解决。

解：令 ，则原方程可转化为

即

解这个关于y的二次方程得：

或 即 或

所以 或

2.简单化原则

简单化就是把比较复杂的问题转化为比较简单的问题，把比较复杂的形式转化为比较简单的形式，以便使其中的数量关系和空间形式更加明朗和具体，从而找到问题的突破口。这里的简单不仅是指问题结构形式表示上的简单，而且还指问题处理方式、方法上的简单。但是，简单也具有相对性，如解方程问题，在初学一元一次方程的内容时，形如 式的方程是简单的，而那些不是这种形式的方程相对就是复杂的了。解方程时，转化的目标就是通过把含未知数x的项移到一边，常数项移到另一边，合并后而使原方程呈简单形式 。一元一次方程掌握之后，再学习方程组时，所有一元一次形式的方程都是简单的了。

3.具体化原则

很多数学问题是各种信息的高度浓缩和抽象，如果我们继续沿着“抽象化”的路走下去，往往会走入迷宫。如果我们改变方向，从新的角度、新的观念出发，把问题中的各种概念以及概念之间的关系具体明确，亦即对原来抽象的问题具体转化，往往会使问题轻而易举地得到解决。

转化时，可采用具体化的方式（如作图），使某个抽象的问题形象化，从而在某种具体意义的指导下，讨论问题，寻求解答；有时，也可将某一问题的具体内容舍弃，仅关注它的关系和结构，形成为一个纯粹的数学问题去进行讨论，做到抽象问题具体化。

总之，转化的原则是以已知的、熟悉的、具体的、基本的知识为基础，将未知的、陌生的化为已知的、熟悉的，复杂的化为简单的，抽象的、非基本的化为具体的、基本的，从而得出正确的解答。熟悉化、简单化和具体化是转化的三个基本原则。

三、转化思想的应用

1.转化思想在解方程中的应用

方程问题是中学数学中的重要分支，分式方程常转化为整式方程解决，无理方程常转化为有理方程解决，高次方程常转化为低次方程解决等。

2.转化思想在简单几何问题中的应用

在解决代数问题时我们常用到数形结合的思想，即由代数式转化为图形，而在解决几何问题时，我们所用到是形与形之间的转化，即在一个大图形中实行局部图形之间的转化或是在多个图形中根据相似、全等等特征实行线段与线段、图形与图形之间的转化。

3.转化思想在解不等式中的应用

不等式作为中学数学中的重要的工具性知识与函数、方程有着紧密的联系，所以不等式的很多问题都可以转化成函数和方程问题进行解决，通过这样的转化，思路巧妙，过程简捷。

总之，在中学中，运用转化思想进行转化的例子比比皆是。数学对象常从一种状态转化为另一种状态，从一种形式转化为另一种形式。事物间的相互联系是实现转化的条件。所以我们在解题过程中要把握好联系，打好转化的坚实基础，大胆猜想，寻求最有效的转化方法，以达到事半功倍的效果。