二阶三阶变系数线性微分方程可降阶求解的一个充要条件

[摘 要] 给出二阶三阶变系数线性微分方程可解一个充要条件，参照一阶线性微分方程常数变异解法给出二阶三阶变系数线性微分方程的一个通解公式并加以应用.

[关 键 词] 变系数线性微分方程；充要条件；通解

[中图分类号] O175 [文献标志码] A [文章编号] 2096-0603（2017）10-0168-02

力学、电学及其他工程技术中一个重要的解析工具是常系数线性微分方程，而在系数激励振动、波导传输理论以及许多其他的实际应用问题中还经常会用到变系数线性微分方程，其解的研究将对有关问题的分析和应用大有帮助.实际上，变系数线性微分方程的求解困难重重，本文针对二阶、三阶变系数线性微分方程，给出其可降阶求解的一个充要条件并进行了相关的应用.

一、预备知识

引理1：一阶线性微分方程y′+P（x）y=Q（x），其中P（x），Q（x）是关于x的连续函数，其通解为y=■■Q（x）e■■dx+C，其中C∈R.

证明：由常数变易法可以证明其结论成立，证明过程略.

定义1：若P（x），Q（x），f（x）是关于x的连续函数，则称方程

y″+P（x）y′+Q（x）=f（x） （1）

为二阶变系数线性微分方程，若f（x）=0，则称方程

y″+P（x）y′+Q（x）=0 （2）

为二阶变系数齐次线性微分方程.

定义2：若a1（x），a2（x），a3（x），f（x）是关于x的连续函数，则称方程

y″′+a1（x）y″+a2（x）y′+a3（x）y=f（x） （3）

为三阶变系数线性微分方程，若f（x）≡0，则称方程

y″′+a1（x）y″+a2（x）y′+a3（x）y=0 （4）

為三阶变系数齐次线性微分方程.

二、主要结论

定理1：方程（1）可降价求解的充要条件是存在函数u（x），v（x）（其中u（x），v（x），u′（x）∈C），使得方程（1）中的系数P（x），Q（x）满足以下关系P（x）=u（x）+v（x），Q（x）=u′（x）+u（x）v（x）.

证明：先证充分性

将P（x）=u（x）+v（x），Q（x）=u′（x）+u（x）v（x），代入方程（1）整理可得[y′+u（x）y]′+v（x）[y′+u（x）y]=f（x）

令y′+u（x）y=z，则上式转化为z′+v（x）z=f（x），由引理1可得其解，将解代入y′+u（x）y=z，再次利用引理1即可求得方程（1）的解.

再证必要性

若方程（1）可解，则其齐次线性微分方程y″+P（x）y′+Q（x）=0可解，我们假设y=φ（x）是方程（2）的一个解，则有φ″（x）+P（x）φ′（x）+Q（x）φ（x）=0，整理得，Q（x）=-■-P（x）■=■′-■2-P（x）■，令F（x）=■，G（x）=■+2F （x）dx/■■dx，显然F（x），G（x）∈C′，G（x）≠0，又■=-（P（x）+2F（x））-G（x），

所以P（x）=-F（x）+-G（x）-■-F（x），Q（x）=-F′（x）-F（x）-G（x）-■-F（x）

令u（x）=-F（x），v（x）=-G（x）-■-F（x），即可得P（x）=u（x）+v（x），Q（x）=u（x）+u′（x）v（x），必要性得证.

推论1：若方程（1）的系数P（x），Q（x）满足定理1中的条件，则方程（1）的通解为

y=e■■■（x）e■■dxdx+Cdx+C1.

定理2：方程（3）可降阶求解的充要条件是存在函数u（x），v（x），w（x）（其中u（x），v（x），v′（x），u（x）∈C），使得方程（3）的系数满足以下关系：a1（x）=u+v+w，a2（x）=2u′+v′+uv+uw+vw，a3（x）=u′w+uvw+u″+u′v+uv′.

证明：略.

推论2：满足定理2的方程（3）有以下形式的通解

y=e■■G（x）e■dx+C3，其中G（x）=e■[■F（x） ■dx+C2]，F（x）=e■■f（x）■dx+C1.

三、主要结论的应用

例1：求微分方程y″+2（x+1）y′+（x2+2x+1）y=e-■的通解.

解：由题可得P（x）=2x+2，Q（x）=x2+2x+1，令u（x）=x，v（x）=x+2，则P（x）Q（x）满足定理1的条件，于是方程可解，由推论1可得其通解为y=C1e-■+C2e-■-2x+■xe-■.

例2：求微分方程x2y″+xy′-y=3x2的通解.

解：首先将方程转化为y″+■y′-■y=3，其系数P（x）=■，Q（x）=■，令u（x）=■，v（x）=0，则其系数满足定理1中的条件，所以方程可解。由推论1得方程的通解为y=x2+■C1+■.

例3：求微分方程y″+■y′+y=■的通解.

解：由题可知P（x）=■，Q（x）=1，f（x）■，令u（x）=■-cotx，v（x）=■+cotx，则其系数满足定理1中的条件，方程可解。由推论1得方程的通解为y=■sinx-■C1+■C2.

例4：求微分方程xy″+2（1-x）y′+（x-2）y=2ex的通解.

解：首先将微分方程转化为y″+2■-1y′+1-■y=■，其系数P（x）=2■-1，Q（x）=1-■，令u（x）=-1，v（x）=■-1，则其系数满足2定理1中的条件，方程可解.

由推论1得其通解为y=exx-■+C2.

例5：求微分方程y″′-cosxy″+2sinx·y′+cosx·y=lnx的通解.

解：令u=-cosx，v=0，w=0，可知微分方程的系数满足定理2，由推论2可得其通解为

y=esinx■-■+■+C2x+C3.

在前人研究的基础上，本文给出二阶三阶变系数线性微分方程可降阶求解的一个充要条件并推导出相应的通解公式，使微分方程的求解更方便、更快捷。更高阶的变系数线性微分方程的可降阶求解条件问题将在后续研究中讨论.

参考文献：

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[2]何基好，秦永飞.一类二阶线性变系数微分方程通解的解法[J].高等数学研究，2010（3）：35-36.

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[4]李小斌，柴华岳，刘三阳.二阶线性微分方程可解的条件[J].高等数学研究，2015（4）：5-8.

A Solvable Necessary and Sufficient Condition for the Second-order and Third-order

Liner Differential Equation with Variable Coefficients

WANG Xiao-hua

Abstract：On the basis of literature research， a sufficient condition for the solvability of the second-order third-order variable coefficient linear differential equation is given. With reference to the first-order linear differential equation constant variation method，a general solution formula of the second-order and third-order variable coefficient linear differential equation is given and applied.

Key words：second-order and third-order liner differential equation；necessary and sufficient condition；general solution