高中数学中复数的运算方法

曾寅震 湖南省长沙市第一中学

高中数学中复数的运算方法

曾寅震 湖南省长沙市第一中学

在高中数学复数部分知识学习过程中，很多同学都觉得其运算方法不好掌握，在解题计算时很容易出错。为了帮助同学们厘清复数的运算方法，文章围绕复数的相关概念展开，通过详细解答例题的方式复数的运算方法。

高中数学 复数 运算方法

复数相关知识在高中数学学习中是相对比较基础的知识，其原理比较简单，教材的描述也比较具体。复数的运算过程与平常的实数运算方式具有差异，在计算时很容易出错。为了减少失误，准确的解答出与复数计算相关的题目，需要对其计算方法进行细致研究。

1 复数概念解析

在高中的数学教材中，其对复数的定义主要是根据实数和新数这两个概念来进行推导的，实数的运算法则大家都比较熟悉。在实数的基础上增加新数i，并将其记作a+i，然后再用实数b与i相乘，并记作bi，然后再将两则运算相加，并得到复数的形式a+bi，其中，a、b都属于实数R。经过查阅相关文献后，笔者发现人们对复数的认识存在前后两个阶段。第一个阶段是复数的产生主要是人们在数学领域中，求解某些三次方程时发现了负数开平方的形式，并且部分三次方程的三个实数根客观存在。而这与人们之前的认知之间存在矛盾之处，为了解释这一问题，人们便引入了复数这一概念，并将其看做部分三次方程的形式解。第二阶段是人们发现在研究平面旋转运动时，复数及其运算能够为其建立有效模型，复数理论被人们认知并得到了重视。复数与实数一样，也存在四则运算，但其计算形式与结果内涵与实数不同，复数具备典型的二元数特征，其自身极具奥妙性。

2 复数的运算方法分析

2.1 复数的运算法则分析

复数与实数一样，具有加法、减法、乘法、除法等运算法则，复数的加法运算法则是假设X1=a+bi，x2=c+di，那么x1+x2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i。在复数的加法运算法则中，复数的实部和与虚部和都是相互对应的，并且其结果也仍然是复数。复数的加法原则满足实数加法原则中的交换律和结合律，即三个任意的复数相加，在进行计算时其两两之间的顺序是可以打乱的。复数的减法原则是(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i，其实部差与虚部差都是相互对应的，并且其结果也仍然是复数。复数的乘法原则是假设X1=a+bi，x2=c+di是两个任意的复数，并且a、b、c、d都属于实数R，那么，X1乘以x2就可以表示为（a+bi）（c+di）=（ac-bd）+(bc+ad)i，实质上就是将其多项式相乘并展开，合并，然后就得到上述结果。复数乘以复数之后，其结果仍然是复数。复数的除法原则是若满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数x+yi(x，y∈R)叫复数a+bi除以复数c+di的商。在解答复数的除法运算时，可以像实数一样，将其转化为乘法运算，只不过需要在其分子分母上同时乘以分母的共轭，实质上就是变换其加减号。除法的运算法则是：设复数a+bi(a，b∈R)，除以c+di(c，d∈R)，其商为x+yi(x，y∈R)，即(a+bi)÷(c+di)=x+yi(x，y∈R)

因为，(x+yi)(c+di)=(cx－dy)+(dx+cy)i．

所以(cx－dy)+(dx+cy)i=a+bi．

所 以 就 有(a+bi)/(c+di)=(ac+bd)/(c^2+d^2)+(bc-ad)/ (c^2+d^2)i

2.2 复数的运算方法分析

例题1：如果有（4+2i）+(3+8i)，试求其值。

此题是一道明显的复数加法运算题目，在进行解答时只需要根据其加法运算法则(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i进行带入计算即可。题目中（4+2i）+(3+8i)=（4+3）+（2+8）i=7+10i。所以题目的答案是（4+2i）+(3+8i)。

例题2：计算（5-6i）+(-2-i)-(3+4i)

解：根据复数加法和减法运算法则可知，在解答此题目时只需要将其实部部分与虚部部分分别相加减即可。即（5-2-3）+（-6-1-4）i=-11i。

通过上面的几道例题可以看出来，复数的所有运算方法都是根据其运算法则而来。要想做好与复数相关的计算题，就必须要牢固掌握其四则运算法则中的具体内容，并在课后多加练习。随着后续内容的学习，复数的运算不仅仅停留在加减乘除这种简单的算法中，其还会涉及到指数运算。其指数运算规则是，当i的指数是奇数时，那么其值便是1，如果i的指数是偶数，那么其值便是-1。比如在计算i+i2+i3+、、、i2006这一道题时，需要先将原来的式子进行展开，并寻找其中的规律，然后按照复数指数的相关法则进行计算。其具体计算过程是i+i2+i3+、、i2006=（i+i2+i3+i4）+（i5+i6+i7+8）+、、、（i2001+i2002+i2003+i2004）+i2005+i2006=0+i+i2=i-1．如果不了解复数的指数运算法则，此道题目是难以解决的。

在高中数学复数的学习中，不仅要厘清复数的概念，还需要牢固掌握其四则运算法则，并记住其具体运算公式。只有这样，才能在解答相关计算题目时游刃有余，并提高其正确性。

[1]康连霞.复数解题的常用技巧[J].教育实践与研究，2001，08:41-42

[2]李立.复数乘法运算的优化方法研究与实现[J].电子设计工程，2013，(13):156-158+161