分类讨论思想在高中数学教学中的应用研究

刘许东��

摘要：分类讨论思想又名逻辑划分思想。分类讨论的思想解释是，我们先把一件事物进行系统的分类，通过探究所分的每一类，最后得出正确结果的方法。在高中数学教学和数学题目中，广泛存在分类讨论的思想。这种方法能够更加直观的将解题思路、解题步骤清晰的罗列出来，每一部分的解题步骤都是有章可循。但是在实际解题的环境下，学生往往想不到所有的可能出现的情况，造成题目最后得到的结果不完全。这往往是由于学生对题目的理解不透彻，以及分类的方法不科学，导致不能够把所有的分类情况一一列出来。为了解决以上问题，帮助学生们提高学习成绩，我们对分类讨论思想在高中数学教学中应用进行了探讨。

关键词：高中数学；分类讨论

分类讨论思想是高中众多解题思想中比较重要的一个，因此对分类讨论思想进行分析和研究，显得十分重要。如果教学中把注意力过度集中于知识表面的联系，没有注意到题目的内涵，不注意对分类讨论的思想进行深入学习和理解，往往难以取得理想的教学效果。教学中要抓住问题的根本，发掘知识的内在联系，以此启发学生形成科学的分类思想，才能更好的解决问题，得到更好的结果。并且分类讨论的思想不仅仅用于解决数学学习上的问题，在实际的生活中我们遇到问题也可以用分类讨论的思想来灵活的解决，这就可以促进学生对于数学知识的运用能力的提升，避免使用中生搬硬套书本上的知识。

如果教师只是一味的讲解分类讨论的思想，不去结合实际的情况去联系解题，这样的教学也会变得过分枯燥，教条化，学生的能力得不到提升。学生既不能学到好的思想方法，知识技能也不能得到提高。在我们的新课程实施中，我们不仅要注重学生思想方法和知识技能的提高，还要注意说明蕴含在知识之中的数学思想。

一、 逐步引导学生明确分类讨论的标准

分类讨论的思想就是被研究对象包含多种可能的情况时，我们对所有的问题不能一概而论，要按照多种情况分类讨论。进行分类讨论的时候，要依据一定的分类标准。例如，进行函数知识的教学时，要根据题目的意思，结合函数的概念，将与题干相关的概念所有相关的全集进行分类。

例1设函数f（x）=x2+|x-a|+1，x∈R，判断f（x）的奇偶性。

解：当a=0时，函数f（-x）=（-x）2+|-x|+1=f（x）

此时，f（x）为偶函数；

当a≠0时，f（a）=a2+1，f（-a）=a2+2|a|+1，f（-a）≠f（a），f（-a）≠-f（a），

此时，f（x）既不是偶函数，也不是奇函数。

在解题的过程中，我们就需要用到分类思想，对会影响函数奇偶性的参数a进行正确分类，才能得到正确的结果。

此外，往往问题的联系和属性是交叉存在的，当问题比较复杂时，我们分类的标准也不完全一致。我们认识问题的过程一般是从表象到本质，也就是先认识简单的然后再到复杂的。在对于数学解题同样如此，要层层递进分析题目的意义，由简到繁，由浅到深才是正确的解题思想。

例2（1）已知tanα=-2，求sinα；

（2） 已知tanα=t（t≠0），求sinα。

解：（1）由tanα=-2<0可知，α在二、四象限；

当α在第二象限时，sinα=25=255；

当α在第四象限时，sinα=-255；

（2） 依据公式secα=±1+tan2α，按照其正負号进行分类.

当α为一、四象限角时，sinα=tanαcosα=t11+t2=t1+t2；

当α为二、三象限角时；sinα=-11+t2。

该题中的分类方法就较为复杂，采用了两类完全不同的分类方法，需要结合问题核心函数性质及相关公式来确定不同的分类标准。

二、 培养学生形成遵循分类讨论原则的习惯

（一） 讨论范围要全面，不能遗漏：在分类讨论的思想解题思路中，我们要考虑全面，把每一种可能发生的情况全部列在解题的答案之中。在解题时，我们要考虑到概念所有可能发生的可能性，分类概念的总和，应当和不分类概念的总和一样。

（二） 避免重复：在一般情况下重复解答一个问题，应该是不扣分的。但是，在实际情况中，同学们可能没有意识到已经重复了，对其他可能情况忽略了讨论，从而造成失分。还有可能就是学生已经感觉到自己的分类讨论有所重复，但是没有办法知道是哪里重复了，需要重新思考，浪费了答题时间。对此，我们应该遵循一个原则：一般而言，我们所分的类是互相不包含的，彼此排斥的。

（三） 同一标准原则：按照集合的概念和分类可以多层次的进行，所以分类时也可以多层次的进行。对问题分类时应该使用同一个标准，不同的标准在分类时，会产生不同的分类方法，不同的方法可能导致解题的难度都不一样，有的分类甚至解答不出题目。所以我们在解题时应该注意，只应该有一个分类的标准。

三、 从分类讨论思想出发，将学生知识积累与数学思想形成融于一体

分类讨论的思想是在数学思想中最为常见，最为实用的思想之一。学生在解题时，能够获得科学的解题方法思想，从而获得一般问题的解题能力。分类讨论的思想对学生技能的发展和形成具有重要的意义。新课程的标准要求我们，学生要从数学学习的教学活动中获得数学的基本知识、逻辑能力和独立解决问题的能力。我们把数学学习作为载体，通过数学学习，向学生们传授科学的数学学习方法，以及分类讨论的思想，不仅使学生能够解决数学实际中的问题，还要使学生们在实际生活中运用这种思想使之成为自己的一种能力，一种解决其他问题的一种思维模式和处理问题的一种方法。我们要培养学生的独立思考的能力和逻辑推理能力，从而使学生在处理问题时能够有条理，思考问题全面，思考问题比较严谨。这种实实在在解决问题的能力，不仅仅用于解决数学教材上的问题，考试试卷上的问题，更要用于解决生活中的数学问题，这种能力的养成有利于学生能够独立解决其他任何问题时，做出自己的判断和思考，从而找到科学的解决问题的方法，做出自己正确的选择。

四、 结束语

分类讨论的思想在我们高中教学活动中运用极其广泛，我们不仅要将其运用于数学解题之中，更要将其运用到生活之中，运用科学的方法解决生活中遇到的问题。因此，分类讨论的思想要有标准，要有原则。

参考文献：

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[3]宋远芬，孙德贵.分类讨论思想在高中数学解题中的应用[J].科技风，2015，（13）.

[4]张海.数学思想方法在高中数学课堂教学中的分析[J].高中数理化，2016，（12）.