浅谈集合中参数取值范围问题

董佳

随着新课改进程的加快，教材在内容及结构上也日益变化，以达到素质教育的要求。高中数学应注重提高学生的数学思维能力，同时也是新课改中重要组成部分。可是无论怎样变更，对于数学问题而言，解题方法永远是重要的一点，而众多问题中，含参问题的讨论则是高中数学的重中之重，它也是历年考试中的必考内容，并且对最近几年的试题分析情况来看，分值略有上升趋势。

纵观整个中学数学，参数问题是一条贯穿其中的脉络，参数与函数的定义域，值域（最值）相结合；与单调性结合；与方程问题相结合；与恒成立问题相结合。可谓参数问题在高中数学中无处不在。含参数问题的讨论，是训练和检查学生逻辑推理能力和分析问题能力的一种综合题型.求解这类问题的方法不复杂，但在一定程度上反映了学生数学素养的高低，因此，一直为人们所重视。

作为中学数学的重要内容，参数问题在课程教学中占有重要地位。按照高中数学的教学脉络，这部分知识与集合、简易逻辑、函数思想、微积分应用、立体几何、数列等都有紧密的联系。其中新课改之后，更是把导数中的参数问题的讨论和解决，变为重中之重。学生们学习中的思维和视野角度都变宽泛了。代数方法中关于参数问题解析和讨论，大多运用分离参数方法，多和分类讨论思想相结合。在运用分类讨论思想的时候，少有著作详细分析常规的步骤。在代数分析的时候，大多要注意导函数图象的大致形状，导函数对应方程的根，以及要注重根的大小的比较。教者们在讲解时也因为知识点多，方法多，与其他知识交汇点众多，从而使得学生接受起来困难重重。关于参数讨论，多和函数思想结合，这方的著作例如白建华[3]的《函数与方程思想在解题中的运用》提出了可以把函数中参数问题转换成方程有解问题来解决。

集合是高中数学的重要基础知识，它贯穿于整个中学数学教学之中，并且作为一种数学语言和工具在其他数学问题中有广泛的运用。在高考中，它也是年年必考内容之一。集合问题一般有两种类型，一是设计集合本身的问题；二是以集合为载体，综合其他数学知识构成的综合题。而前者也经常含有参数问题结合，培养学生的讨论思想。例如，已知A={a+2，（a+1）2，a2+3a+3}且，求实数a的值。这类集合中含参问题，要注意元素和集合的关系。在解题过程中要注意以下两点：（1）必须注意对所求的结果进行检验，以防与集合中元素的互异性矛盾，产生曾解。（2）解答过程体现了数学中分类讨论思想的灵活运用，分类要注意：不重复、不遗漏、分类的标准一致。经过多年教学经验，笔者将集合和参数问题总结下列两类。

一般的，集合含参问题在解决上要注意“三化”

（1）代表元素“意义化”：代表元素反映了集合中元素的特征。解题时要紧紧抓住代表元素及其属性，可将元素列举，直观发现，或通过元素特征，求同存异，定性分析，分清集合的类型。

（2）元素组成的“具体化”：有些集合中的元素所满足的条件是可以简化的，易于解决。

（3）数形结合的“直观化”。

通过集合之间的关系，来求参数的取值范围，最终是要通过比较区间端点的取值来实现，因此来确定两个集合内的元素，成为解决这类问题的关键。由于集合中的参数会影响集合的性质。多以经常要对参数进行讨论，也是高考的热点。学生掌握分类讨论思想，有利于培养学生的逻辑性和解决问题的能力。一般来说，绝大多数需要利用分类讨论思想方法求解的数学问题都含有参数，由于参数所在范围不同导致相应的数学模型的变化，从而必须在各种不同的具体情境下求解问题，这就产生了分类讨论。

例 已知：

解：∵∴A={x|2

（1）当a=0时，B为空集，不符合条件要求。

当a>0时，B={x|a

当a<0时，B={x|3a

所以当时，集合A是集合B的真子集。

（2）要满足

当a>0时，B={x|a

当a<0时，B={x|3a

综上所述，

（3）要滿足显然当a>0且a=3时成立，因为此时B={x|3

“数无形时少直觉，形少数时难入微”，数是用文字语言或符号语言对对象关系的抽象描述，表达信息具有精确性和历时性特性，思维特征显示为逻辑性；形则是用图形语言对对象关系的直观展现，表达信息具有共时性特征。数形结合，不仅是一种有效的解题方法，更是一种重要的数学思想和思维方式，它兼取了数的严谨性与形的直观性两方面的长处，是优化解题过程的重要途径，也是对知识和能力的集中反映。在常见的集合求得参数取值范围问题时，常常会与一元二次方程等联系，那么理解已知集合表达含义，再配用韦达定理，问题就迎刃而解。不过在求解的过程中一定要注意讨论元素的互异性！