基于超复数HSV空间的彩色图像边缘检测

张训华　孙蔚

摘要：传统的彩色图像边缘检测方法有以下一些弊端，边缘易丢失，边缘定位容易出现偏差以及边缘不连续等，结合传统的边缘检测方法和四元数超复数空间利用四元数对矢量旋转表示的便利性，在四元数的空间里处理彩色图像。然后通过对彩色图像旋转变换，进而分离HSV模型图像中的S分量实现彩色图像的边缘检测。通过对比试验结果可以看出该方法可以有效地降低色彩边缘的误检率，一定程度上提高边缘检测器的性能。

关键词：超复数空间；矢量旋转；HSV；边缘检测

中图分类号：TP391 文献标识码：A 文章编号：1009-3044（2017）33-0204-02

Abstract： The traditional image edge detection methods have many shortcomings such as edge lost， with edge position deviation and with discontinuous edges etc. In order to solve such problems a novel method was provided in this article which combined with the traditional edge detection methods and quaternion space. When a color image is projected to the quaternion space， quaternions vector rotating would be used. By separating the S component of HSV image model， the edge of color image would be spreaded. Compared with the traditional image edge detection methods， it reduces the color edge detection error rate and improves the edge detection performance.

Key words： quaternion space；vector rotation；HSV；edge detection

對图像边缘进行检测是图像处理和计算机视觉系统中最为关键的一步，为了标识出数字图像中有亮度变化的点，我们通常会采用图像边缘检测。因为，边缘检测可以大幅度减少检测数据量，并且可以剔不相关的信息，而仅仅保留图像的重要结构属性。我们熟知的传统图像边缘检测方法很多，但是大多都是基于灰度图像进行检测，Novak和Shafer[2] 研究发现，通常彩色图像边缘里所占90% 都是和灰度图像的边缘相吻合，因此，就能通过灰度检测的方法来找出边缘。 不过，还有所占边缘比例的大约 10%，我们仅靠灰度图像并没有办法检测出来，研究发现这10%的边缘，是来自颜色变化。

本文使用超复数空间来描述彩色图像，先对图像进行矢量旋转，然后再把色彩变化比较激烈的区域映射为彩色区域，把色彩变化平缓区域，映射为灰色区域。最后在超复数空间中分离图像中的彩色分量，最终得以实现彩色图像边缘的检测。通过多方位实验结果证明，本文所提出的方法，较传统“基于灰度的边缘检测方法” 可以获得更多的边缘轮廓信息。

1 彩色边缘定义

我们对彩色边缘的定义，常见有以下几种：其一，定义彩色图像中边缘即是该亮度图的边缘[3]，但是这种说法没有考虑色调饱和度是不连续的；其二，认为只要有一个彩色分量存在边缘[4]，那么，彩色图像也就存在边缘，但是该说法会直接导致单色彩通道确定边缘，因此准确性存在问题；其三，曾有人提出基于单色的彩色边缘定义[5]，不同于第二种说法的是，他对三个彩色分量分别计算梯度，然后取梯度绝对值，再求和，如果梯度的绝对值之与指定阈值相比超过其值，就判定此时存在彩色边缘，反之则反。以上三种说法，都有一定的道理，但是却都忽略了一个重要问题，那就是矢量分量之间是有相互联系的。

本文在此基础上，采用一种新方法重新定义彩色边缘：首先，用彩色图像的微分[6]，对彩色像素或彩色矢量[C（x，y）=u1，u2，…，unΤ]求导，然后，图像函数在位置[（x，y）]的变化用等式[ΔC（x，y）=JΔ（x，y）]来描述。在该彩色图像函数中，当具有最大变化或者不连续性的方向用对应本征值的本征矢量[JΤJ]来表示，如果变化超过一定的值，就表明存在彩色边缘像素。

2 超复数空间

超复数空间是对复数空间的一种扩展又称四元数空间，四元数空间中的点用下式（1）来表示：

[q（x）=q0（x）+iq1（x）+jq2（x）+kq3（x）] （1）

其中i、j、k 分别代表三个虚部分量，且满足：

[i·j=-j·i=kj·k=-k·j=ik·i=-i·k=ji2=j2=k2=-1] （2）

那么彩色空间中的一个点（x，y）在四元数空间中可以表示为：

[Img（x，y）=iR（x，y）+jG（x，y）+kB（x，y）] （3）

若彩色空间像素矢量的 3 个分量值相等，则此像素矢量为灰度矢量，因此我们在四元数空间中可以定义：

[μ] =[13（i+j+k）] （4）

其中，[μ] 代表灰度图像矢量，该轴上的点满足R=G=B，任何彩色向量在该轴上的投影代表该向量的强度，在此基础上，定义四元数空间中的旋转向量：

[u（θ）=eμθ=cosθ+μsinθ] （5）

其中[u（θ）]和[u?（θ）]是共轭向量，和图像的左右卷积我们称之为图像的旋转变换。即：

[Y（θ）=u（θ）[img]u*（θ）] （6）

因为，对任一彩色像素矢量，我们可以证明 [u（θ）[img]u*（θ）]，是一个纯虚数的四元数。所以，对于任意两个彩色的像素矢量，Q1和Q2，令 Q3= Q1+ [u（θ）Q2u*（θ）]，只要这两个彩色像素的矢量是相等的，就有|Q3 |=0，如果有 Q1与 Q2色调接近，则 Q3必位于灰度矢量 μ 附近，也就是说，一定存在任意小的正数δ有| Q3|<δ（δ为任意小正数），采用该法只要彩色矢量 Q1和Q2在图像边缘，便能迅速判断出来了。

3 HSV颜色模型

HSV（Hue， Saturation， Value），这个模型中颜色的参数分别是：色调（H），红、绿、蓝三种颜色分别相差120度，互补色之间相差180度；饱和度（S），S的取值范围是从0到1；明度（V），也就是色彩的明亮程度，V的取值大小范围从0到1。

彩色图像经过四元数矢量旋转处理以后，只需将其转换到HSV色彩空间，并将其中的S分量提取出来，便可得到边缘图形。

4 实验结果及分析

本文用来进行边缘检测的图像是Lena图（图1）。首先对彩色Lena图像做四元数矢量空间变换，然后矢量旋转，再对旋转后的图像进行HSV模型转换并提取其S分量，也就是提取HSV模型中的色彩饱和度分量，最后再使用传统的边缘检测算子得到图像的边缘轮廓图形。实验分别对candy算法、sobel算法和prewitt算法采用本文提出的方法进行检测，再和传统的上面三种算法检测的边缘图像进行比较。效果图如下。

通过对比可以发现基于四元数的边缘检测方法要比传统的边缘检测方法能保留更多的图像边缘细节信息。

5 小结

本文将彩色图像中RGB的三个分量在四元数空间中进行矢量旋转，从而提取出HSV模型中的S分量，然后再利用传统的边缘检测算子实现彩色图像边缘轮廓的检测。实验证明，该方法在检测图像边缘时，保留了更多有效的图像边缘信息，比传统的检测方法效果更好。

参考文献：

[1] Andreas koschan，Mongi abidi. Digital color image processing 彩色數字图像处理[M]. 章毓晋，译.北京： 清华大学出版社，2010.

[2] Novak C L， Shafer S A. Anatomy of a color histogram[C]. In： Proceedings of IEEE Computer Society Conference on Computer Vision and Pattern Recognition. Champaign， USA： 1992. 599- 605.

[3] G.S. Robinson. Color Edge Detection [C].In： Symposium on Advances in Image Transmission Techniques， San Diego， CA， 1976，126-133.

[4] William K.pratt. Digital image processing数字图像处理[M]. 张引，译.北京： 机械工业出版社，2009.

[5] A. Koschan， M. Abidi. Detection and Classification of Edges in Color Images [J]. IEEE Signal Processing Magazine， 2005， 22（1）：64-73.

[6] Gao C B， Zhou J L， Hu J R， et al. Edge detection of colour image Based on quaternion fractional differential[J]. Image Processing， 2011，5（3）：261-272.