涂覆单轴双各向异性介质圆柱的电磁散射特性

刘先

摘要：该文分析了无限长均匀双各向异性圆柱的电磁散射特性，基于柱矢量波函数和傅立叶变换法得出单轴双各向异性介质内部的电磁场特性。单轴双各向异性圆柱体位于自由空间中受均匀平面波的垂直入射可极化为TE波和TM波，该文以TM为例，得出各区域用柱矢量波函数表示的解析表达式，应用双各向异性介质与自由空间分界面上电磁场切向连续和在导体柱上切向电场等于零的边界条件，得出单轴双各性异性介质圆柱内的电磁场和散射场的系数所满足的矩阵方程，通过矩阵方程和贝塞尔函数的大宗量渐进展开式导出其雷达散射宽度的表达式，通过fortran编程验证与导出的结果吻合。

关键词：单轴双各向异性介质；傅立叶变换；柱矢量波函数；雷达散射宽度

中图分类号：TP311 文献标识码：A 文章编号：1009-3044（2017）31-0275-03

The Electromagnetic Scattering Characteristicsof Cylinder Coated With Uniaxial Bianisotropic Materials

LIU Xian

（Hangzhou Dianzi University， Institute of antenna and Microwaves， Hangzhou 310018，China）

Abstract：This paper analyzes the electromagnetic scattering characteristics of infinite uniform bianisotropic cylindrical，Based on the column vector wave function and Fourier transform method， it is concluded that the inner electromagnetic characteristics of uniaxial bianisotropic medium.uniaxial bianisotropic medium cylinder in free space by homogeneity plane wave vertical incidence can be a TE wave and TM wave，this paper， taking TM， it is concluded that all regional expression of the column vector wave functions.Applying the boundary condition of electromagnetic field tangential is continuousin bianisotropic medium and free space boundary surface ，the tangential electrical field is equal to zero in the conductor cylinder， it is concluded that uniaxial bianisotropic medium cylinder of electromagnetic field and scattering field of the coefficient contended equation， through the matrix equation and Bessel function of large amount of gradual expansion export the expressions of the width of the radar scattering，the results are verified through the FORTRAN programming.

Key words：uniaxial bianisotropic medium； the Fourier transformation domain； cylindrical vector-wave-function； the radar cross width

1 概述

今年來，二维柱体的电磁散射问题一直受到人们的关注，也取得了丰富的成果，有关这方面的文献报道很多，但大部分是关于理想导体住和各向同性介质柱[1-2]。今年来各向异性介质柱的电磁散射也日益受到了人们的重视，文献[3-5]分别用时域有限差分法、体源积分方程、反应定理、平面波展开法和有限差分法结合不变性测试方程法计算了自由空间中各向异性介质柱的电磁散射。文献[13]应用边界元法分析了二维各向异性介质柱电磁散射特性。本文应用各向异性柱矢量波函数展开的本证矢量与平面波因子乘积的解析表达式和傅立叶变换、矩阵的本征值和矩阵矢量的特性，对双各向异性介质柱结构的电磁散射进行了研究。

2 理论公式

本文所研究的问题如图1所示，图1所示的是任意截面形状的二维导体柱，其外层涂覆有双各向异性介质层，一束TM极化的均匀平面电磁波垂直入射到自由空间中的圆柱上，入射电场和散射电场都沿Z轴取向，电磁场随时间变化因子为exp（jwt）。

图1 中区域2是良导体，区域1是双各向异性介质，区域0是自由空间，柱壳的内外半径分别是[a1，a2，]柱体中单轴双各向异性介质的介电常数和磁导率和交叉耦合张量分别如下：

[ε] = [ε0εt000εt000εz]=[ε1000ε1000ε2] （1）

[μ] = [μ0μt000μt000μz]=[μ1000μ1000μ2] （2）

[ξ] = [μ0ε0ξt000ξt000ξz]=[ξ1000ξ1000ξ2] （3）

[ζ] = [μ0ε0ζt000ζt000ζz]=[ζ1000ζ1000ζ2] （4）

由Maxwell方程组得双各向异性介质（区域1）中电场所满足的微分方程

▽×（[μ-1]·▽×E）+jw [▽×（[μ-1·ζ]·E）-[ξ]·[μ-1]（▽×E）] —[w2]（[ε]-[ξ]·[μ-1]·[ζ]）·E = 0 （5）

由式（5）和麦克斯韦方程组、傅立叶变化、谱域中的本征矢量及柱矢量波函数展开的平面波因子表达式，可得区域1中电磁场解析表达式：

[E（r）=q=12-∞+∞02πn=-∞n=+∞aqnkzm=-∞m=+∞j-mej（m-n）φk×[Aeqkz，φkMlm（r，kq）+Beqkz，φkNlmr，kq+Ceqkz，φkLlmr，kq]dφkdkz ] （6a）

[Hr=q=12-∞+∞02πn=-∞n=+∞aqnkzm=-∞m=+∞j-mejm-nφk×[Ahqkz，φkMlmr，kq+Bhqkz，φkNlmr，kq+Chqkz，φkLlmr，kq]dφkdkz]

（6b）

[M（l）m，N（l）m，L（l）m为第l类]柱矢量波函数[6]：

[M（l）m=-jmρZlmkρqρρ??ρZlmkρqρφe-jmφ+kzz] （7a）

[N（l）m=1kq-jkz??ρZlmkρqρρ-mkzρZlmkρqρφ+k2ρqZlmkρqρze-jmφ+kzz] （7b）

[L（l）m=??ρZlmkρqρρ-jmρZlmkρqρφ-jkzρZlmkρqρze-jmφ+kzz] （7c）

[Zlm]为第l类m阶Bessel函数，分别为[jmx，ymx，h1mx，h2mx（l=1，2，3，4）]，[kρq]是双各向异性介质的本征值，[Aeq]，[Beq]，[Ceq]和[Ahq，Bhq，Chq]分别是单轴双各向异性介质用柱矢量波函数展开的电磁场的系数。

由文献[7]知，TM波入射场和散射场的表达式：

[Ei=n0k0m=-∞∞j-mN1mr，k0ejwφ0] （8a）

[ Hi=1k0m=-∞∞j-mjM1mr，k0ejwφ0] （8b）

[Es=1k0m=-∞∞j-m[esmN4mr，k0-jη0hsmM4mr，k0]] （8c）

[Hs=1k0m=-∞∞j-mhsmN4mr，k0+jη0esmM4mr，k0] （8d）

[esm，hsm]是散射场的展开系数，为待求量，到此，我们得到了导体柱涂覆双各向异性介质的本证柱矢量波函数的解析表达式，下面我们利用边界条件，求出双各向异性介质中电磁场和散射场的展开系数。

在r=[a1]和r=[a2]时有以下边界条件：

E[×ρ=0 ] r=[a2] （9a）

（[Hi+Hs]）[×ρ= H×ρ]， [（Ei+Es]）[×ρ= E×ρ] r=[a1] （9b）

分別将双各向异性介质中的电磁场、入射电磁场、散射电磁场的柱矢量波函数的表达式带入上面的两式，经过一系列的数学变换，得出双各向异性介质本证函数的展开系数满足以下方程组：

[m=-∞∞n=-∞∞j-mej（m-n）φka11n02π[Ae1（kz，φk）kρ1Z1?m（kρ1ρ）+Ce1（kz，φk）jmρZ1m（kρ1ρ）] +a21n02π[Ae2（kz，φk）kρ2Z1?m（kρ2ρ）+Ce2（kz，φk）jmρZ1m（kρ2ρ）] +a12n02π[Ae1（kz，φk）kρ1Z4?m（kρ1ρ）+Ce1（kz，φk）jmρZ4m（kρ1ρ）] +a22n02π[Ae2（kz，φk）kρ2Z4?m（kρ2ρ）+Ce2（kz，φk）jmρZ4m（kρ2ρ）]}=0] （10a）

[m=-∞∞n=-∞∞j-mej（m-n）φka11n02π[Be1（kz，φk）kρ1Z1m（kρ1ρ）] +a21n02π[Be2（kz，φk）kρ2Z1m（kρ2ρ）] +a12n02π[Be1（kz，φk）kρ1Z4m（kρ1ρ）]+a22n02π[Be2（kz，φk）kρ2Z4m（kρ2ρ）]}=0] （10b）

[m=-∞∞n=-∞∞j-mej（m-n）φka11n02π[Ae1（kz，φk）kρ1Z1?m（kρ1ρ）+Ce1（kz，φk）jmρZ1m（kρ1ρ）] +a21n02π[Ae2（kz，φk）kρ2Z1?m（kρ2ρ）+Ce2（kz，φk）jmρZ1m（kρ2ρ）] +a12n02π[Ae1（kz，φk）kρ1Z4?m（kρ1ρ）+Ce1（kz，φk）jmρZ4m（kρ1ρ）] +a22n02π[Ae2（kz，φk）kρ2Z4?m（kρ2ρ）+Ce2（kz，φk）jmρZ4m（kρ2ρ）]} =m=-∞∞j-m[-jη0hsmZ4?m（k0ρ）]] （10c）

[m=-∞∞n=-∞∞j-mej（m-n）φka11n02π[Be1（kz，φk）kρ1Z1m（kρ1ρ）] +a21n02π[Be2（kz，φk）kρ2Z1m（kρ2ρ）] +a12n02π[Be1（kz，φk）kρ1Z4m（kρ1ρ）]+a22n02π[Be2（kz，φk）kρ2Z4m（kρ2ρ）]} =η0m=-∞∞[j-mesmZ4m（k0ρ）+j-mZ1m（k0ρ）ejwφ0]] （10d）

[m=-∞∞n=-∞∞j-mej（m-n）φka11n02π[Ah1（kz，φk）kρ1Z1?m（kρ1ρ）+Ch1（kz，φk）jmρZ1m（kρ1ρ）] +a21n02π[Ah2（kz，φk）kρ2Z1?m（kρ2ρ）+Ch2（kz，φk）jmρZ1m（kρ2ρ）] +a12n02π[Ah1（kz，φk）kρ1Z4?m（kρ1ρ）+Ch1（kz，φk）jmρZ4m（kρ1ρ）] +a22n02π[Ah2（kz，φk）kρ2Z4?m（kρ2ρ）+Ch2（kz，φk）jmρZ4m（kρ2ρ）]} =m=-∞∞[jZ1?m（k0ρ）]ejwφ0+m=-∞∞[jη0esmZ4?m（k0ρ）]] （10e）

[m=-∞∞n=-∞∞j-mej（m-n）φka11n02π[Bh1（kz，φk）kρ1Z1m（kρ1ρ）] +a21n02π[Bh2（kz，φk）kρ2Z1m（kρ2ρ）] +a12n02π[Bh1（kz，φk）kρ1Z4m（kρ1ρ）]+a22n02π[Bh2（kz，φk）kρ2Z4m（kρ2ρ）]} =m=-∞∞[j-mhsmZ4m（k0ρ）]] （10f）

由式（10）可求出导体柱涂覆双各向异性介质中用本征柱矢量波表示的电磁场的展开系数，进而可求出散射场的散射系数，最后得出导体住涂覆双各向异性介质的雷达散射截面。

3 数值计算结果

这一部分，我们对前一节所推导的公式展开数值计算过程，数值计算主要计算平面波垂直入射情况下，导体柱涂覆双各向异性介质的雷达散射截面。对于二维情下，[??z=0，kz=0]，可用如下公式推导出雷达散射截面宽度[8]：

[σ=limρ→∞2πρ|Es|2|Ei|2]=[limρ→∞2πρ|Hs|2|Hi|2]

为了验证本文理论和数值计算结果的正确性，我们计算了当导体柱半径趋于0时，即导体柱的电尺寸为[k0a2=0.0001π]，计算结果如图2所示，此时的[k0a1=1.4π]，介质具体参数

[εt=3.6，εz=3.2，ut=2.4， uz=2.2， ξt=0.0，]

[ξz=1.131j， ζt=0.0，ζz=3.016j]。

实线为本文的计算结果，虚线为文献[9]计算结果，从图2 可以看出数值结果吻合較好。

图3，为在 TM 均匀平面波垂直照射下的双基地回波散射宽度的结果，取入射角[φ0=0.0]，圆柱的尺寸分别为[k0a=1.0π]，[k0a=1.7π]，λ=1m是自由空间的波长，散射体圆柱体是有耗的，介质具体参数为

[εt=2.5-0.36j，εz=2.2-0.48j，ut=3.4-0.15j， ]

[uz=3.2-0.58j， ξt=1.38-1.21j，ξz=1.26-1.131j， ]

[ζt=1.356-0.452j，ζz=1.451-1.016j]

从图3可以看出，圆柱中填充相同特性的介质时，存在两个现象：一方面，随着散射体 尺寸的增大，相对应的散射宽度的峰峰值之差也逐渐增大；另一方面，随着散射体尺寸的增 大，雷达散射宽度结果的波动的峰数和谷数也逐渐增加。

4 结束语

本文是在单轴双各向异性介质圆柱电磁散射研究的进一步扩充，进一步研究了涂覆单轴双各向异性介质圆柱电磁散射的理论公式和数值计算结果。为研究多层介质涂覆椭圆柱的电磁散射特性奠定了基础。

参考文献：

[1] Yuan X C，Lynch D R，Strohbehn J W.CoupIing of finite eIement and moment method for eIectromagnetic scattering from inhomogeneous objects[J]. IEEE Trans Antennas Propagat，1990，38（3）：386，393.

[2] 宰昕宇，洪伟.电大尺寸导体柱电磁散射问题的快速算法[J].电波科学学报，1999，14（1）：41，46.