随钻测量用MEMS陀螺信号稀疏提取*

杨金显,杨 闯

(河南理工大学电气工程与自动化学院导航制导实验室,河南 焦作 454000)

随钻测量用MEMS陀螺信号稀疏提取*

杨金显*,杨 闯

(河南理工大学电气工程与自动化学院导航制导实验室,河南 焦作 454000)

针对随钻测量用MEMS陀螺检测信号特性,提出采用稀疏表示的方法进行信号提取。首先从检测的陀螺调制信号构成角度,分析其信号稀疏特性;然后分析检测信号特性,构造与之最相似的过完备词典;比较已有稀疏重构算法优劣性,提出一种改进的稀疏度自适应匹配追踪算法对陀螺调制信号进行稀疏提取,进而解调真实陀螺信号;最后采用提出的改进SAMP算法于新构造的过完备字典中进行陀螺信号稀疏提取实验,并与小波阈值提取法进行实验对比,实验结果表明:采用新构造的字典和改进的SAMP算法,可以有效提取MEMS陀螺真实信号,提取效果优于传统小波阈值法。

随钻测量;MEMS陀螺;稀疏提取;小波变换

近年来,基于MEMS加速度计/陀螺仪的微惯性姿态测量单元(MIMU)以其成本低、体积小、寿命长、集成化、抗冲击能力强和可靠性高等优势,在石油钻井、地质勘探和煤层气(瓦斯)抽采等领域具有广阔的应用前景。陀螺仪作为MIMU的主要测量元件,通过敏感钻具的三轴向角速度解算可得钻具井斜角、工具面角、方位角。但由于陀螺仪存在漂移,是MIMU的主要误差源,长时间累积计算会产生较大误差[1-6],因此,真实提取MEMS陀螺信号,去除噪声,对提高陀螺精度及惯性随钻测量精度具有重要的意义。

目前,常采用时频分析法来刻画陀螺信号的特性,如STFT变换、W-V分布,小波变换等,将信号分解到一组基或正交基上,能够提供更多的反应信号物理结构特征的信息[7-10]。从数学上讲,这些方法都是使用完备基来表示信号的,把信号分解成其所在空间的无穷多个基函数的加权和,展开系数就是基与信号之间的内积。这些方法一旦基函数确定后,对于一个信号只能有唯一的一种分解方法,因此对于很多信号来说并不能得到信号的最佳稀疏表示。如果某信号具有稀疏性,说明信号的能量聚焦在少数的基函数上,就可以用少量的系数等价表示该信号,这非常有利于降噪处理。如果建立在正交基上的信号分解就会有一定的局限性,往往达不到好的稀疏表示效果,那么更好的信号分解方式应该是根据信号的结构特征,在更加冗余的字典(函数库)中自适应地选择合适的“基函数”来表征信号。

为了实现信号更加简洁、灵活和自适应的表示,Coifman和Wickerhauser等提出了稀疏分解的概念;几乎与此同时,Mallat和Zhang在小波分析的基础上,也提出了信号在过完备原子库上分解的思想[11-12]。信号稀疏表示依赖于基函数的选取,若信号与基函数之间存在相似性关系,信号在该基下具有稀疏的表示;反之,不能获得信号的稀疏表示。稀疏分解作为获取信号稀疏表示的一种有效途径,在某种程度上弥补了小波阈值降噪的不足,具有广阔的应用前景。本文采用稀疏表示的方法进行MEMS陀螺仪信号提取研究,为这类信号的分析提供一个新的方向。

1 信号的稀疏表示

1.1 陀螺仪信号的稀疏分析

MEMS陀螺仪信号中混叠着量化噪声、角度随机游走、零偏不稳定性、速度随机游走,以及速率斜坡和环境变化引起的随机噪声[10]。从信号产生的机理分析,有什么样的信号成分,一定相应的驱动因素,所以从这个角度上说信号可以分解成若干部分,可以说陀螺仪信号具有稀疏性。

假设采集到1 024个原始数据,如用小波(原子或基)来表示这组数据,需1 024个不同小波才能完美重构,这是很困难的。但对有用(相对噪声而言)数据,从小波理论的角度来看是非常稀疏的,可能只需要一些小波就已经足够获取真实的信号(或有用的信号),其余小波的贡献是很少的,都可看作为是相应的“噪声”。

MEMS陀螺仪离散信号x(n)可表示为展开函数ψm(n)的一个线性组合:

(1)

式中:信号x为一个N×1阶列向量,α为M×1阶展开系数向量,展开函数ψm(n)为原子或特征波形原子,是具有特定物理意义的小的波形,与陀螺仪信号的组成结构有关,ε为噪声。

用矩阵的形式表示:

x=Dα+ε

(2)

式中:α为展开系数,描述了信号与展开函数之间的相似程度,D={ψm(n)}m∈Z为N×M阶矩阵,原子的集合,称为字典。

从稀疏逼近的角度出发,从各种可能的组合中,挑选出分解系数最为稀疏的一组原子(基函数)来构建信号。对于MEMS陀螺仪信号,决定能否通过稀疏表示的方法来提取信号关键在于两个因素:一个因素是如何找到一个合适的字典D,使得陀螺信号能够用这个字典中的原子稀疏表示,从而具有尽可能小的非线性逼近误差;第二个因素是如何设计好的算法来快速、准确的进行信号稀疏分解。

1.2MEMS陀螺检测信号特性分析

以随钻测量用MEMS陀螺信号分析为出发点,为了选择或优化字典D。某型单轴MEMS陀螺仪的驱动和检测简化方程[13]:

(3)

(4)

式中:mx,y、Dx,y、Kx,y为驱动和检测方向的质量、阻尼系数和弹性系数,x(t)和y(t)为驱动和检测方向的位移,ωz为z轴向角速度,Fe=fdsin(ωt)为驱动力(fd为驱动幅值,ω为驱动频率)。

由方程(3)(4)两式得检测方程特解为:

(5)

式中:A1和A2不同时为零。

检测信号特征方程为:

(6)

(7)

根据阻尼比ζy的大小,将阻尼分为3种状态,ζy>1时为过阻尼,ζy=1时为临界阻尼,ζy<1时为欠阻尼。为得到较短的稳定时间,一般取阻尼比ζy为0.6左右较为合适,但是由于实际中的哥氏力很小,为了能够检测到哥氏力引起的振动,需要将输出模态的阻尼比或设计的很小[13-14]。在欠阻尼ζy状态下检测信号y(t)的通解为:

(8)

由上述推导知,MEMS陀螺仪检测到的调制信号由周期部分和指数衰减部分构成,信号中的其他部分,应为噪声。

1.3 字典的构造

目前,稀疏分解常用的字典原子库主要有Ricker子波原子库、墨西哥帽子波原子库及Morlet子波原子库等[15]。信号稀疏表示的本质是在变换域上用尽可能少的原子来(或准确地)表示原始信号,如果信号的特性与所选择的原子不完全匹配的话,获得的分解结果就不一定是信号的稀疏表示,造成这种状况的一个重要原因是用于信号表示的函数集不具有冗余特性。

为了能够根据信号自身的特点从冗余的函数集中选择原子,结合陀螺仪检测信号的分析,选取如下函数作为信号分解的字典原子ψm(t),即:

(9)

式中:g(t)=e-πt是窗函数,m=(s,u,ω,φ)是时频参数,其中s是伸缩因子(尺度因子),u是平移因子(位移因子),ω是原子的频率,φ是原子的相位。一个原子由(s,u,ω,φ)4个参数决定,不同的参数选取就产生不同原子,进而构成过完备字典(原子库):D={ψm|m=1,2,…p},P为过完备字典中原子个数。

用式(9)的函数作为原子的优点是它与陀螺检测信号的瞬态响应很相似,因而非常适合于提取信号中的衰减波形,此外,当s足够大时,字典原子退化为标准的正弦波函数,因此同时也具有提取信号中平稳的、以正弦波为特征的周期性成分的能力,如图1所示,因此该字典原子兼顾了陀螺检测信号中的平稳和非平稳特征。

1.4 稀疏分解算法

在众多字典原子中寻找最佳原子,如果采用最小二乘近似法或分组搜索法都是很困难的,而MP贪婪算法由于其计算量小、重建效果好且较易实现的特点,对字典原子没有特定要求,几乎任何物理可实现的函数都可作为原子,从而为特定的应用问题提供了极大的灵活性,应用最为广泛[16]。此外,信号的分解过程是一步一步进行的,每一步的寻优计算都较为简单,十分有利于寻优算法的稳定性。

前述分析知,MEMS陀螺仪信号在空间上为有限维的,具有稀疏性,因此用这一部分最佳原子构建信号是可行的:

(10)

式中:x为陀螺信号,αk为稀疏系数,grk为挑选出的原子(寻优的原子),K为挑选原子总数(也称为信号x的稀疏度)。

由于字典的过完备性,稀疏系数αk的选择不唯一。MP是用迭代方法逐步选出所需的原子:

①假设初始残余信号为x0,并通过求解x0与字典中的原子集合{}有最大内积的原子(最佳原子)来选取展开系数α0和展开函数ψ0,即令残余信号x0=x,求解α0==max||,ψm∈D。

②然后计算下一步残余信号x1和逼近。在第k步,求解αk==max||,并计算新的残余信号xk+1和新的逼近(信号x就被分解为在最佳原子的垂直投影分量和残值两部分)即:

式中:xk+1=xk-αkψk。

③如此重复,直到陀螺残余信号衰减到预先设定的阈值(设定迭代终止误差e为一很小的正数)或到达设定循环次数为止。

上述迭代循环过程不难看出,MP算法是收敛的(每一次计算后的信号残余比上一次小)。如果信号或信号的残余在已选择的原子进行垂直投影是非正交性的,会使得每次迭代的结果并不是最优的而是次最优的,收敛需要很多次迭代。为解决非正交引起的迭代收敛时间过长,Joel A Tropp等提出了正交匹配追踪算法(OMP),将历次所选原子依次进行Schimidt正交化,然后将待分解信号减去在正交化后的原子上各自的分量得到信号新的残差[17],大大提高了收敛速度,降低稀疏分解时间。OMP算法每次迭代仅选择与信号或信号的残差最相关的一个原子,为进一步提高原子寻优效率,加快残差收敛速度,Needell D等提出正则化正交匹配追踪算法(ROMP),每次迭代选择多个原子[18]。之后压缩采样匹配追踪(CoSMP)和子空间匹配追踪算法(SP)相继提出,通过对历次选择的最优原子进行替换与补充,进一步提高原子选择准确度[19-20]。上述这些算法都需要预知信号稀疏度K,对于稀疏度未知的MEMS陀螺信号进行稀疏分解是很困难的,由此出现了不需先验获取信号稀疏度K的稀疏度自适应匹配追踪算法(SAMP),通过自适应调整步长来逐阶段逼近原始信号[21],SAMP算法流程如下:

输入:①原子词典D(N×M原子向量阵);②N×1阶信号向量x;③步长s;

输出:①重构信号xr;②残差向量r=x-xr;

Step 1 初始化:迭代次数k=1,阶段索引j=1,迭代残差r0=x,阶段残差r=r0,支撑集F0=φ,支撑集长度L=s,原子索引集S0=φ,候选集C0=φ;

Step 2 计算c=|DTrk-1|,将c中L个最大值对应的原子索引存入索引集Sk;

Step 5 若残差‖r‖≤ε(ε为残差阈值),则停止迭代进入Step6;若‖r‖2≥‖rk-1‖2,则更新阶段索引j=j+1,更新支撑集长度L=j×s并返回Step2;否则Ck=Fk,k=k+1,rk=r,并返回Step2;

从SAMP算法分解流程可以看出,SAMP算法不仅兼顾了ROMP的自底向上逐阶段正交逼近思想,同时兼具CoSaMP和SP自顶向下的回溯思想,进一步保证信号重构精度和重构效率。但是,SAMP应用于陀螺信号的稀疏分解也存在下述问题:

①原子寻优时计算量主要集中在Step2内积c=|DTrk-1|计算上,为进一步减小计算量,对内积运算优化如下:对于参数为(si,ωi,φi)的字典D中原子ψi,如让ui遍历[0,N-1]所有值,则原子ψi需与陀螺信号或信号分解的残余作N次内积运算。考虑ui由0到N-1连续取值,则N次内积运算可记为一次xk与ψi互相关运算:

Rxkψi(n)=rk-1(n)ψi(n)

(11)

式中:n=0,1,…,N-1。借助DSP处理器FFT算法可快速实现式(11)互相关运算,为进一步提高计算效率,将序列{rk-1(n)}和{ψi(n)}构成复序列{z(n)},即{z(n)}={rk-1(n)}+j{ψi(n)},直接对复序列{z(n)}进行FFT,提取{z(n)}FFT计算结果,并共轭相乘后进行逆FFT运算(IFFT)即可得互相关运算序列,复数FFT互相关计算流程如图2所示。

图2 复数FFT互相关计算流程

②SAMP算法最终信号提取精度,依赖于算法迭代终止时机的选择,在信号无噪或少量噪声情况下,SAMP迭代终止条件‖r‖≤ε较易满足;当信号混叠有大量噪声时,迭代进行一定次数后,信号残差r主要为噪声,由于噪声强度无法准确预知,因此迭代终止阈值ε选取困难,同时,由于相邻两次迭代残差变化不大,导致算法无法正常或准确进行阶段转换,甚至迭代无法终止。

为解决上述问题,本文提出采用残差的相干比作为迭代终止条件,相干比定义为:

λ(rk-1)=‖DFkrk-1‖2/‖L(DFk)·rk-1‖2

(12)

式中:rk-1为第k次迭代前的残差,DFk为第k次迭代后选择出的L(DFk)个最佳原子集合。设相干比阈值为ε,当残差rk-1的相干比低于阈值ε时,说明经过进一步回溯选择的L(DFk)个最佳原子与回溯前信号的残差相关性很弱,说明残余信号中,已基本剩余噪声信号,即λ(rk-1)≤ε时,原子寻优过程结束,算法达到终止条件。

2 陀螺信号稀疏提取流程

综上所述,由MEMS陀螺检测方程的解特性出发,分析调制信号特征;选择与检测到的调制信号特性最为相似的特征波形原子,构造过完备原子字典;利用改进的SAMP算法获得分解系数更加集中的信号表述形式,将信号的能量压缩到一组逼近原始信号的原子上;进一步通过对信号成分和噪声成分系数的划分和选择,由少数原子组合得到陀螺调制信号的最佳逼近,实现对调制信号的稀疏提取,进一步对重构的调制信号解调,得到重构的真实陀螺信号。陀螺信号稀疏提取流程如图3。

图3 陀螺信号稀疏提取流程图

3 实验分析

3.1MEMS陀螺实测信号

①将随钻测量系统固定于转台上;②转台调平,启动测量系统;③转台输入角速度10 °/s;④采样频率50 Hz,连续采集10 000点。

3.2 本文稀疏提取与小波阈值法陀螺信号提取对比

为比较基于式(9)原子词典的改进SAMP算法 稀疏提取陀螺信号效果,与小波阈值法提取对比试验。其中,改进SAMP算法实验参数设置:迭代终止阈值ε=10-3,改进SAMP算法步长S取值为5;

小波阈值法提取实验参数设置:选取Db4正交小波基,对MEMS陀螺输出信号进行5尺度小波分解,采用Minimaxi软阈值进行MEMS陀螺信号重构。MEMS陀螺信号信噪比SNR、均方根误差RSME及纯陀螺数据解算100 s方位角误差结果如表1所示,实验结果如图4、5所示。

表1 陀螺信号提取效果对比

图5 方位角解算误差对比

对比表1及图4、5结果知,无论在视觉上还是在提取效果评价指标意义上,基于本文SAMP稀疏提取效果均优于小波阈值法。理论上,陀螺仪输出数据应为一条直线,其数据特性应是很稀疏的,由于转台在启动、转动过程中不稳定,造成的输出数据有一些波动。

3.3 不同字典下陀螺信号稀疏提取对比

在相同原始陀螺信号(解调前)、本文改进SAMP算法参数配置相同(同3.2节)、同一实验平台等相同条件下,分别采用Ricker字典、墨西哥帽字典、Morlet字典及本文基于式(9)构造字典对同一组陀螺信号,进行稀疏提取实验,提取重构后MEMS陀螺信号SNR、RSME及纯陀螺数据解算100s方位角误差结果如表2所示。

表2 不同字典下陀螺信号提取效果对比

表2实验结果表明,在相同稀疏提取算法条件下,本文构造原子词典相比其他词典更适合提取调制信号。

3.4 不同稀疏分解算法下陀螺信号提取对比

在相同原始陀螺信号(解调前)、相同字典原子(本文构造)、同一实验平台等相同条件下,分别采用MP、OMP、SAMP及本文改进SAMP(参数配置同3.2节)对同一组陀螺信号,进行稀疏提取实验,并与小波阈值法对比。由于陀螺信号稀疏分解的速度依赖于计算条件(硬件条件和软件条件),为便于比较不同算法提取速度,将MP算法速度设为1,其他算法速度以n倍于MP算法表示。提取重构后MEMS陀螺信号纯陀螺数据解算100 s方位角误差及计算速度结果如表3所示。

表3 不同字典下陀螺信号提取效果对比

表3实验结果表明,在相同计算条件下,小波阈值法速度最快,但精度最低;MP算法精度最高,但计算速度最慢;本文改进SAMP算法,同时兼顾了提取速度与精度。

4 结论

通过对随钻测量MEMS陀螺检测信号特性的分析,构造与之相似的过完备字典;比较现有贪婪稀疏分解算法优劣性,提出一种改进稀疏度自适应匹配追踪(SAMP)算法进行MEMS陀螺调制信号提取,进而解调为最接近真实陀螺信号。实验结果表明:新构造过完备字典能够有效重构陀螺调制信号;提出的改进SAMP算法,同时兼顾了信号稀疏提取精度与效率;与传统小波阈值法提取信号效果对比说明了信号的稀疏表示能有效而简洁地表达信号,为MEMS陀螺信号的分析提供了一种新的方向,具有一定的工程意义。

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杨金显(1980-),男,山东曹县人,博士,副教授,硕士生导师,1999～2008年于哈尔滨工程大学获得学士、硕士和博士学位,主要从事MEMS惯性测量及在随钻、电网运动和变形监测中的应用研究,yangjinxian@hpu.edu.cn;

杨闯(1992-),男,河南滑县人,现为河南理工大学电气工程与自动化学院硕士研究生,主要从事MEMS惯性测量研究,yang_ch126@126.com。

SignalExtractionofMEMSGyroUtilizedinMWDBasedonSparseRepresentation*

YANGJinxian*,YANGChuang

(Navigation and Guidance Laboratory,School of Electrical Engineering and Automation,He’nan Polytechnic University,Jiaozuo He’nan 454000,China)

According to the characteristics of the detected signal from MEMS gyro utilized in measurement while drilling(MWD),a kind of sparse representation-based gyro signal extraction method is proposed. Firstly,the sparse characteristics about the gyro detection signal is analyzed from the perceptive of the signal compositions;Secondly,the atom dictionary most similar to the gyro detection signal is designed;Thirdly,by comparing the advantages and disadvantages of the existing sparse reconstruction algorithms,a novel sparse adaptive matching pursuit algorithm is proposed to extract the real detection signals of the gyro;Finally,the proposed sparse reconstruction algorithm based on the newly designed atom dictionary was used to extract the actual gyro signal,compared with the wavelet threshold extraction method. Substantial experiments results indicate that the proposed sparse extraction-based outperformes wavelet threshold method.

MWD;MEMS gyro;sparse representation;wavelet transform

TH763

A

1004-1699(2017)11-1677-07

项目来源:国家自然科学基金项目(41672363,U1404510,61440007),河南省科技攻关项目(172102210289),河南省创新型科技人才队伍建设工程项目(CXTD2016054),河南省高校基本科研业务费专项资金项目(NSFRF1619),河南理工大学杰出青年基金项目(J2017-5)

2017-03-21修改日期2017-07-05

10.3969/j.issn.1004-1699.2017.11.011