基于自适应Kalman滤波的MEMS陀螺随机误差分析

王辛望,沈小林*,刘新生

(1.中北大学计算机与控制工程学院,太原 030051;2.江苏曙光光电有限公司,江苏 扬州 225009)

基于自适应Kalman滤波的MEMS陀螺随机误差分析

王辛望1,沈小林1*,刘新生2

(1.中北大学计算机与控制工程学院,太原 030051;2.江苏曙光光电有限公司,江苏 扬州 225009)

针对某型MEMS陀螺随机误差较大、精度不高的问题,通过时间序列分析法,建立自回归滑动平均ARMA(Auto-Regressive and Moving Average)模型,采用ARMA(2,1)模型将预处理后的MEMS陀螺随机误差进行建模。设计基于ARMA模型的经典Kalman滤波器。静态试验和恒定速率试验结果表明在经典Kalman滤波器作用下,静态试验下其均值与均方差下降32.62%和66.31%;恒定速率试验下,其均值有明显的降低,其均方差减小了一个数量级。针对经典Kalman滤波器不能解决振动试验中大振幅时滤波发散问题,提出一种新的自适应Kalman滤波法,通过寻找合适的标定因子s解决滤波发散问题。振动试验结果表明,当振幅为100°时,滤波后的均值和均方差分别下降8.25%和8.36%。

MEMS陀螺;随机误差;自适应Kalman滤波;时间序列分析;自回归滑动平均;Allan方差

微机电系统(Micro-Electro-Mechanical System)惯性器件在无人机、精确制导武器、低成本惯导系统等领域得到大量应用。其中MEMS陀螺以其质量小、便于携带、易于安装、高可靠以及耐冲击等优势得到大规模使用。相比于激光陀螺、光纤陀螺、静电陀螺等,MEMS陀螺精度比较低,阻碍了MEMS陀螺的发展;通过可行的措施降低MEMS陀螺的随机误差,改善其精度是目前亟待解决的重要问题之一[1]。目前针对降低MEMS陀螺随机误差方法有很多种,通常使用神经网络、小波分析等方法[2-3],但是上述方法获得的模型总是带有很高的阶数,在低成本惯导系统实时在线估计与预测中并不适用。因此运用时间序列分析法,通过对MEMS陀螺随机误差选取合适的模型进行建模,设计Kalman滤波器减小MEMS陀螺的随机误差是一个不错的选择。文献[4]只对MEMS陀螺随机误差进行建模,并没有设计滤波器分析其随机误差;文献[5-6]对MEMS陀螺随机误差进行建模,设计Kalman滤波器分析其随机误差,但却没有考虑动态时Kalman滤波器可能出现的问题;文献[7]对MEMS陀螺随机误差进行了AR(自回归,Auto-Regressive)模型建模,设计Kalman滤波器并进行静态试验和动态试验,试验结果表明该Kalman滤波器有效减小了MEMS陀螺的随机误差,但却忽略了振动试验时Kalman滤波器的局限性。作者提出并设计一种自适应Kalman滤波器,建立ARMA(自回归滑动平均,Auto-Regressive and Moving Average)模型对MEMS陀螺随机误差进行分析,通过设计静态试验和动态试验讨论MEMS陀螺随机误差,尤其解决了振动试验时Kalman滤波器的局限性。通过一系列数据对比,证明了自适应Kalman滤波器的有效性。

1 Kalman滤波器的设计

1.1 经典Kalman滤波器的设计

Kalman滤波于20世纪中期被提出,目前仍在工程中得到广泛的应用。Kalman滤波是一种递推线性最小方差估计,只通过前一个状态时刻的估计值和现在状态的量测值来计算现在状态的估计值,方法简便,易于工程实现。它可以实现最小均方估计误差意义下随机信号的最优线性滤波。构建MEMS陀螺随机误差模型,通过Kalman滤波器对MEMS陀螺随机误差进行滤波。将MEMS陀螺随机误差作为系统输入,设其k时刻的系统和量测方程是:

(1)

Kalman滤波的5个基本方程为:

(2)

式中:Hk为量测阵,Kk是滤波增益矩阵;Pk,k-1是一步预测误差方差阵;Pk是估计误差方差阵;R是测量噪声的协方差;Q是过程噪声的协方差;在MEMS陀螺随机误差中,R、Q均为常数。经典Kalman滤波的步骤如图1所示。

图1 经典Kalman滤波器的步骤

1.2 自适应Kalman滤波器的设计

基于1.1节经典Kalman滤波器,实际工程应用时总会出现量测值数目k持续增加时,估计值与实际被估计值之间的偏差不断增大,导致Kalman滤波器逐步丧失作用,造成滤波的发散。由于Kalman滤波被定义为一个递推过程,当滤波步数逐渐变大,舍入误差开始不断累积,造成估计的均方误差阵丧失非负定性甚至丢掉对称性,导致增益阵的计算值不断丧失合适的加权作用而发散。特别是当Kalman滤波器应用于MEMS陀螺中时,这种现象会导致其精度下降,随机误差变大,影响了MEMS陀螺的使用。因此我们介绍一种自适应Kalman滤波器,在滤波过程中针对新鲜量测值对估计值的修正作用减弱,陈旧量测值的修正作用逐渐增大的现象,改进Kalman滤波方程,提出标定因子s的概念。通过寻找合适的标定因子s,逐渐削弱陈旧量测值的比例,同时增加新鲜量测值的权重,扼制经典Kalman滤波器的发散,从而减小MEMS陀螺的随机误差,提高其精度。

2 时间序列分析法

时间序列分析法的主要内容是研究时间序列的分解、预测、时间序列的线性模型的建模、估计、检验和控制方法等,拟合高精度模型满足研究和实际工程需要。

在建模之前对采集的数据进行预处理,剔除其中的奇异点,然后平滑处理并消除其中的均值,最后用多项式拟合法去除其中的线性趋势项,得到预处理后的结果。将预处理后的数据进行建模,根据最小信息准则AIC(Akaike Information Criterion)、贝叶斯信息准则BIC(Bayesian Information Criterion)等准则选取模型并定阶[8],综合考虑试验因素以及硬件条件实现的方便,此试验MEMS陀螺随机误差选择自回归滑动平均ARMA模型进行建模。该模型的优势在于便于分析复杂的时间序列、能够更准确的对复杂时间序列进行预测[9]。

设预处理后数据序列是{xp},令p=1,2,…,N,则{xp}的ARMA(p,q)模型如式(3)所示。

(3)

针对试验使用的某型MEMS陀螺,已知其随机误差模型阶数一般比较低,因此试对其建立ARMA(1,1)、ARMA(1,2)、ARMA(2,1)模型。对3种模型的参数、AIC和BIC参数进行估计,估计结果如表1所示。

表1 3种模型的拟合系数

根据试验要求、模型拟合精度以及AIC、BIC等准则,选取ARMA(2,1)最为试验所用MEMS陀螺的随机误差模型,其表达式如式(4)所示[10-12]。

(4)

3 试验结果与分析

3.1 静态数据采集

试验采用某型MEMS陀螺,将其采样频率设为100 Hz并水平固定在温箱中,保证试验在恒温恒湿的条件下进行。将该陀螺通电预热1 h,确保其稳定运行后,以100 Hz连续采集2 h,重复上述过程连续采集六天,取其中一次比较好的10 min数据作为样本,获得陀螺Z轴静态输出,共采集到60 000个数据样本。

图2 MEMS陀螺Z轴静态随机误差

3.2 静态试验

将Z轴的静态输出进行预处理,则预处理后Z轴静态随机误差如图3所示。

图3 预处理后Z轴静态随机误差

图4 静态试验结果

Kalman滤波前Kalman滤波后量化噪声4.4965e-044.6697e-04角度随机游走1.7592e-045.7544e-05零偏不稳定性0.01440.0129速率斜坡0.22570.2507角速率随机游走1.25171.1903均值-2.2785E-05-1.5582E-05均方差0.07480.0258

在静态的情况下,均值由-2.278 5E-05下降到-1.558 2E-05,均方差由0.074 8下降到0.025 8,角度随机游走由1.759 2e-04下降到5.754 4e-05,试验表明在静态情况下,经典Kalman滤波器效果明显,能够有效减小MEMS陀螺随机误差,提高MEMS陀螺的精度。

3.3 恒定速率试验

将转台的角速率分别设置为5 °/s、10 °/s、15 °/s、20 °/s、25 °/s、50 °/s、100 °/s,基于相同的试验条件,待转台稳定转动后,以100 Hz频率采集该陀螺Z轴输出数据1 min。重复ARMA(p,q)建模过程,对采集的数据进行Kalman滤波,得到转台速率为5 °/s时Kalman滤波前后的曲线如图5所示,不同速率下Kalman滤波前后均值与均方差如表2所示[13]。

表3 恒定速率下Kalman滤波前后均值与均方差

图5 恒定速率试验结果(输入速率为5 °/s)

3.4 振动试验

3.3节中的试验只是针对恒定速率,根据工程的实际需要,利用振动台的特性,设计出一种振动试验,通过不同时刻速率变化来比较经典Kalman滤波和自适应Kalman滤波。设置振动台输出振幅为5°、10°、15°、20°、25°、50°、100°的正弦曲线,待振动稳定后,以100 Hz的频率采集陀螺Z轴的输出数据1 min。重复建立ARMA(p,q)模型,设计Kalman滤波器,得到振动台振幅为10°时Kalman滤波前后的曲线如图6所示,表4为不同振幅下经典Kalman滤波前后均值与均方差的结果。

图6 振动试验结果(输入振幅为5°)

Kalman滤波前均值均方差Kalman滤波后均值均方差5°-0.001223.53471-0.001263.5082510°-0.001257.06975-0.001227.0177615°-0.0012610.60496-0.0011610.5272720°-0.0013314.14027-0.0011214.0368725°-0.0013817.67564-0.0010717.5464750°-0.0013635.35243-0.0008235.49423100°-0.0013370.70633-0.0003470.88996

根据表4结果可知,当振动台振幅为50°、100°,该型MEMS陀螺输出的均值和均方差呈增大趋势,继续增大输出振幅,让振动台以150°、200°振动时,其均值与均方差同样呈增大趋势,因此原先设计的Kalman滤波器不能适用于振幅较大的情况。根据2.2节设计的自适应Kalman滤波器以及ARMA(2,1)模型的参数、试验所用MEMS陀螺以及先验知识,将标定因子s设置为1.05、1.04、1.03、1.02、1.01,不同振幅下滤波后的均值与均方差如表5、表6所示[14-15]。

表5 不同标定因子下振动试验均值

表6 不同标定因子下振动试验均方差

由表5、6对比可知,当标定因子s选取为1.01时,随着振幅的不断增大,其均值与均方差均逐渐变小并在s=1.01处存在最小值。因此本试验中,针对MEMS陀螺和自适应Kalman滤波器的特性,选取标定因子s=1.01时滤波效果最佳。s=1.01时,振幅为100°时的滤波曲线如图7所示。

图7 s=1.01、振幅为100 °/s时自适应Kalman滤波图

4 结论

MEMS陀螺随机误差相对较大,介绍Kalman滤波器和自适应Kalman滤波器,通过时间序列分析法,建立ARMA(p,q)模型,对其随机误差进行分析。通过静态试验、恒定速率试验以及振动试验,对比Kalman滤波器和自适应Kalman滤波器的滤波效果。试验结果表明,在静态试验和恒定速率试验中,经典Kalman滤波器滤波效果明显,在静态试验中其均值与均方差下降了32.62%和66.31%;在恒定速率试验中该型MEMS陀螺均值明显降低;其均方差减小了一个数量级。而在振动试验中,经典Kalman滤波器不能满足大振幅振动下的滤波要求,自适应Kalman滤波器不但能满足要求,而且当输出振幅为100°时,滤波后的均值和均方差分别下降了8.25%和8.36%。因此自适应Kalman滤波器具有更广泛适用性,能够有效提高MEMS陀螺精度。

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王辛望(1991-),男,河北石家庄人,中北大学硕士研究生,控制理论与控制工程,导航、制导与控制,MEMS微机电惯性传感器、新型微纳机电传感系统仿真、加工与性能测试,379719568@qq.com;

沈小林(1958-),男,中北大学计算机与控制工程学院副教授,主要研究方向为控制理论与控制工程,导航、制导与控制,检测技术与自动化装置,sxl@nuc.edu.cn。

RandomErrorAnalysisofMEMSGyroscopeBasedonAdaptiveKalmanFilter

WANGXinwang1,SHENXiaolin1*,LIUXinsheng2

(1.School of Computer and Control Engineering,North University of China,Taiyuan 030051,China;2.Jiangsu Shuguang Opto-Electronics Co.,Ltd,Yangzhou Jiangsu 225009,China)

In order to improve performance of a certain type MEMS gyroscope,based on the principles of time series analysis,ARMA model is established and ARMA(2,1)is used to establish MEMS gyroscope random error model. The Kalman filter is designed and the result of static test and the constant rate test show that under the classic Kalman filter,the mean and mean square deviation of the MEMS gyroscope random error is reduced by 32.62% and 66.31% in the static test;the mean is much smaller and the mean square deviation is decreased by an order of magnitude in the constant rate test. Based on the fact that the classic Kalman filter can not adapt to the vibration test of large amplitude,a new adaptive Kalman filter is proposed in this paper by looking for the adaptive calibration factors to deal with the problem of the divergence in the classic Kalman filter. The results of vibration test show that the mean and the mean square deviation after filtering is reduced by 8.25% and 8.36% when the amplitude is 100°.

MEMS gyroscope;random error;adaptive Kalman filter;time series analysis;Auto-Regressive and Moving Average;Allan variance

V241.5

A

1004-1699(2017)11-1666-05

2017-04-24修改日期2017-06-29

10.3969/j.issn.1004-1699.2017.11.009