期望损失的后验分析

杜在超，Juan Carlos Escanciano

(1.西南财经大学 经济与管理研究院，四川 成都 610074；2.美国印第安纳大学文理学院经济系，布鲁明顿 47405)

【编者按】 量化市场风险对于期权定价、投资、金融监管和风险管理具有重要意义。而风险量化的关键在于选择科学的评估指标和工具。本期《财经研究》“海外归来”栏目翻译了西南财经大学经济与管理研究院杜在超教授和美国印第安纳大学Juan Carlos Escanciano教授在ManagementScience2017年第4期合作发表的论文“BacktestingExpectedShortfall:Accountingfortailrisk”。①原文版权归属INFORMS(http://www.informs.org)，译文已获得原文的中文翻译版权。中文译文中出现的错误INFORMS概不负责，中文译文文责作者自负。我们感谢张栋浩在中文译稿中的大力帮助。Management Science是管理类国际顶级期刊。杜在超教授于2010年获得印第安纳大学经济学博士学位，2010年8月回国任教，2015年被评为教育部首届青年长江学者，主要研究领域包括金融计量和应用计量。该文首次提出了期望损失模型的后验分析方法，填补了金融风险管理领域的一个空白，也可为国内金融机构和学者提供借鉴和参考。

期望损失的后验分析

杜在超1，Juan Carlos Escanciano2

(1.西南财经大学 经济与管理研究院，四川 成都 610074；2.美国印第安纳大学文理学院经济系，布鲁明顿 47405)

巴塞尔委员会已经批准用期望损失(ExpectedShortfall，ES)作为市场风险指标对银行业进行监管，以替代现有的在险价值指标(Value-at-Risk，VaR)。这主要是因为期望损失满足风险度量应该满足的性质，而在险价值则不满足。在这个转变过程中，金融机构面临的主要困难是没有工具可以用来评估期望损失模型，即后验分析，而本文则提出了一套简单的ES后验分析工具。具体而言，我们基于累积碰撞序列(CumulativeViolations)构造了一套ES模型的检验方法，该方法是对VaR后验分析的自然推广。我们推导出了该检验的渐进分布性质，并且通过蒙特卡洛模拟研究了它们的有限样本表现。通过将该方法应用于全球三大股票指数，我们发现，在2007年金融危机期间，VaR模型无法识别出金融危机时期与正常时期市场风险模型的差异，而ES模型则可以。

风险管理；期望损失；后验分析；尾部风险；在险价值

一、引 言

市场风险的量化是学者和金融机构普遍感兴趣的问题，这对于期权定价、投资组合以及风险管理都非常重要。20世纪90年代以来，度量市场风险的主要指标是在险价值(VaR，Value-at-Risk)(Jorion，2006；Christoffersen，2009)。VaR描述了在给定置信水平的情况下，一个投资组合可能遭受的最大损失。尽管VaR概念简单、计算方便，但是它却不是一个很好的风险度量指标。VaR没有考虑尾部风险，它仅仅告诉我们在没有发生尾部事件时的最大损失，但没有指出尾部事件发生时可能遭受的损失大小。VaR也存在其他的缺陷，包括不满足次可加性(Artzner等，1997，1999；Acerbi和Tasche，2002)和凸性(Basak和Shapiro，2001)。期望损失(ES，ExpectedShortfall)克服了上述VaR的缺陷，是一种满足“一致性”的风险度量指标，ES计算了超过给定置信水平的损失的平均值。*ES其他名称包括：条件VaR、平均VaR、尾部VaR或者平均尾部损失。在2012年5月3日的巴塞尔协议III中，巴塞尔委员会明确地提出要逐步淘汰VaR，并采用ES作为替代指标。但是，使用ES作为度量市场风险的主要指标面临的一大挑战是，没有工具对ES进行评估(Yamai和Yoshiba，2002，2005；Kerkhof和Melenberg，2004)。本文的主要目的就是提供这样的评估工具。

我们提出的方法主要是基于下面的观察。对每个置信水平而言，如果VaR模型是设定正确的，中心化的碰撞序列(投资组合损失超过VaR与否)应该是一个鞅差序列(Berkowitz, Christoffersen和Pelletier，2011)。如果在左侧尾部的置信区间内求取中心化碰撞序的积分，也可以形成一个鞅差序列，我们把它叫做“累积碰撞序列”。就像ES是左侧尾部VaR的积分一样，累积碰撞序列是对左侧尾部所有碰撞序列的积分。因此，我们可以通过检验累积碰撞序列是否为鞅差序列来检验ES模型(Escanciano和Lobato，2009a)。具体而言，我们提出了一种Box-Pierce形式的检验(Box和Pierce，1970)。我们的Box-Pierce检验是对以往文献关于VaR条件后验分析的自然推广(Christoffersen，1998；Berkowitz, Christoffersen和Pelletier，2011)。同样地，我们基于累积碰撞序列的t检验是对VaR无条件后验分析的自然推广(Kupiec，1995)。 McNeil和Frey(2000)、Berkowitz(2001)、Kerkhof和Melenberg(2004)、Wong(2008，2010)以及Acerbi和Szekely(2014)曾提出了ES的无条件后验分析方法，而本文是第一个提出ES条件后验分析方法的文章。*众所周知，对常用的模型(比如说，滤波历史模拟法)而言，条件后验分析比无条件后验分析更有检验力(Escanciano和Pei，2012)。但是出于完整性考虑，我们也报告了无条件后验分析的结果。

我们对ES的后验分析考虑了有碍参数估计对检验的影响。已有文献对VaR或ES预测的估计误差进行了广泛研究，包括Christoffersen和Goncalves(2005)、Gourieroux和Zakoian(2013)以及Francq和Zakoian(2015)。Escanciano和Olmo(2010)研究了VaR后验分析存在的估计风险。针对ES后验分析的文献，只有Kerkhof和Melenberg(2004)在对无条件后验分析进行历史模拟时考虑了估计风险。与Escanciano和Olmo(2010)类似，我们从理论和模拟上证明了，当样本内观测没有比样本外观测大很多的时候，忽略估计风险将会给ES后验分析带来极大的Size扭曲(sizedistortions)。为了解决该局限性，我们提出了修正的后验分析，该方法充分考虑了估计风险，并通过蒙特卡洛模拟证明了稳健性。

本文想传达的主要信息是，与大多数学术和非学术文献相反，ES后验分析并没有比VaR后验分析困难很多。*我们的观点与Kerkhof and Melenberg(2005)、Acerbi和Szekely(2014)相同。并且，Acerbi和Szekely(2014)讨论了对ES做后验分析的可能性，以及阐述了“诱发性”(Elicitability)的概念。我们提出的后验分析很容易执行，是对VaR后验分析方法的自然推广，也可以作为巴塞尔委员会建议的内部模型方法的工具箱，因此可谓是一个可以更好捕捉尾部事件的市场风险度量与评估。

本文余下内容安排如下。第二部分介绍本文常用的表达符号，以及后验分析所涉及的基本内容。第三部分我们提出新的无条件和条件后验分析，并求解它们的渐进性质。第四部分通过蒙特卡洛模拟研究后验分析的有限样本表现。第五部分采用金融危机后的日度数据，将本文提出的后验分析应用于三大主要股票指数，包括标普500、德国DAX指数以及恒生指数。实证结果显示，VaR对金融危机期间的极端事件的反应较为迟钝，而ES则提供了尾部风险的准确描述。第六部分总结全文。附录是本文的数学证明。

二、累积碰撞序列

Pr(Yt≤-VaRt(α)|Ωt-1)=α

(1)

也就是说，-VaRt(α)是累积分布函数G在α分位点的取值，VaRt(α)=-G-1(α,Ωt-1)=-inf{y:G(y,Ωt-1)≥α}。

定义时刻t，置信水平α时的碰撞序列是ht(α)=1(Yt≤VaRt(α))，其中，1(.)是示性函数。当t时刻的损失大于等于VaRt(α)时，示性函数取值1，否则取值0。(1)式的含义是碰撞序列是一个均值为α的伯努利变量，并且对于每一个α∈[0,1]，中心化的碰撞序列(centeredviolations)都是鞅差序列，即对每一个α∈[0,1]，都有E[ht(α)-α|Ωt-1]=0。

ESt(α)=E[-Yt|Ωt-1,-Y>VaRt(α)]

(2)

通过条件概率以及变量转换，可以将ESt(α)表达为VaRt(α)的一个函数：

(3)

为了计算方便，定义ut=G(Yt,Ωt-1)。采用ht(u)=1(Yt≤-VaRt(u))=1(ut≤u)，我们可以得到：

(4)

三、ES后验分析

在本节，我们提出ES的后验分析方法。ES的无条件后验分析是一个简单的t检验，原假设是E[Ht(α,θ0)]=α/2，该检验是Kupiec(1995)提出的VaR无条件后验分析的推广。ES条件后验分析是一个Box-Pierce检验，这也是Christoffersen(1998)和Berkowitz等(2011)提出的VaR条件后验分析的自然推广。我们首先研究了一般后验分析方法(考虑了估计风险)的渐进分布，并且证明了不考虑估计风险可能会导致极大的size扭曲。继而，我们又提出了对估计风险稳健的修正后验分析方法。

(一)一般无条件和条件后验分析

然后，采用时间长度为n的样本外观测{Y1,Ω0,…,Yn,Ωn-1}来评估ES模型(后验分析)。我们的后验分析是基于累积碰撞序列的估计值。

ES的无条件后验分析是一个标准的t检验，原假设是H0u:E(Ht(α,θ0))=α/2。

注释1：类似于Escanciano和Olmo(2010)，我们在定理1的证明中量化了参数估计效应，具体为：

附录B中给出了RES的详细表达式，包括在一般的位置尺度模型中的具体表达式。λ=0是定理1的特殊情况，即样本内观测显著大于样本外观测。当λ=0时，UES服从标准正态的极限分布，无条件后验分析的推论将会极大简化。

推论1在定理1 的假设下以及λ=0，UES→dN(0,1)。

接下来，我们讨论ES的条件后验分析。原假设是H0c:E[Ht(α,θo)，α/2|Ωt-1]=0，

(6)

至于无条件后验分析，CES(m)的渐进分布不仅依赖于λ，还依赖于其他的未知量。

(7)

(8)

δij是克罗内克函数(Kroneckerdeltafunction)，该函数在i=j时取值1，否则取值0。{Zj}是服从独立标准正态分布的变量。

从定理2可知，CES(m)服从一个加权的卡方极限分布。该权重是Rj的函数，因为与Yt的分布有关。但当λ=0时，也就是πj=1(对于任意的j=1,…,m)，CES(m)就服从标准极限分布。

综上可知，当λ=0时，本文提出的无条件和条件后验分析在零假设下具有标准极限分布；但当λ>0时，它们不再具有标准极限分布。这说明，除非T显著大于n(比如T=2500，n=250)，否则基于标准分布临界值的基本检验不能控制第一类错误(Type-Ierror)。为了避免发生该问题，我们提出对估计风险稳健的修正后验分析。

(二)修正的无条件和条件后验分析

在本节，我们提出修正的后验分析方法，该方法明确考虑了估计效应(estimationeffect)，并且对于任意的λ(0≤λ<∞)都有标准极限分布。定理1给出了无条件后验分析(式5)的估计效应表达式，据此我们提出如下的修正检验统计量：

从定理1和定理2可知，无论λ取何值，修正的检验统计量MUES和MCES(m)都服从标准极限分布。

如推论1和推论2所示，一般检验统计量只在λ=0时具有标准极限分布；而推论3和推论4表明，稳健的检验统计量对任意的0≤λ<∞都具有标准极限分布。

四、蒙特卡洛模拟

我们采用常用的AR(1)-GARCH(1,1)设定Yt的真模型(原假设)，此时VaR和ES的表达式是：

(9)

Yt数据生成过程的原假设和备择假设如下，

H0：AR(1)-GARCH(1,1)模型，

(10)

A1：TAR模型，Yt=atYt-1+vt,vt=σtεt

A3：AR(1)-ARCH(2)模型，Yt=0.05Yt-1+vt,vt=σtεt

A4：AR(1)-EGARCH(1,1)模型，Yt=0.05Yt-1+vt,vt=htεt

A5：AR(1)-StochasticVolatility模型，Yt=0.05Yt-1+vt,vt=htεt

A6：AR(1)-GARCH(1,1)并且具有混合正态残差项，Yt与(10)式相同，

除非被另外设定，在这些模型中{εt}～iidt5。Escanciano和Velasco(2010)、Escanciano和Olmo(2010)采用了类似的模型。A1和A2中的条件均值没有被正确设定，A3、A4和A5中的条件方差没有被正确设定，A6中则是误差项{εt}的分布没有被正确设定。

表1-9汇报了在5%显著性水平下各检验的实证size和size-correctedpowers。*Size：犯第一类错误的概率，即在原假设为真的情况下，拒绝了原假设；Power：不犯第二类假设的概率，即在原假设为假的情况下，拒绝了原假设。与前文理论一致，当T较小时，估计效应导致基本检验存在严重的size扭曲(犯第一类错误的可能性很高)；但当T很大时(比如，T=2 500)，size扭曲的程度显著下降。除了VaR的条件后验分析MCVaR(5)存在一些过度拒绝的情形外，修正的后验分析在T很小时仍可以得到满意的size。因为在尾部存在很少的观测值，所以ESt(0.025)和VaRt(0.01)后验分析的size扭曲程度最大。对于给定的样本内观测T，修正的ES后验分析MUES和MCES(5)的size表现，随着样本外观测n从250增加到500而显著改善，这与基本检验的结论相反。

由于小样本T存在size扭曲，我们汇报了size-correctedpowers。其中，ES的无条件后验分析很好地识别了备择假设A2和A6，条件后验分析对备择假设A1和A6具有最大的检验效能(Power值最大)，对备择假设A2-A5也具有一定的检验效果。在绝大多数情况下，CES(5)和MCES(5)有着比CVaR(5)和MCVaR(5)更大的检验效能(Power值更大)。最后，MUES和MCES(5)的检验效能随着样本外观测n的增加而变大，说明了这些检验对备择假设而言是满足一致性的。当模型的残差项服从其他分布时，比如说时变高阶距的Hansen-Skewed-t分布，也可以得到一致的结论。*限于篇幅，没有汇报这些模拟结果，读者如有兴趣，可以向作者索取。

蒙特卡洛模拟的主要结论如下。当T很小时(T=250)，基本后验分析存在显著的size扭曲，但这些扭曲会随着T的增加而显著下降(T=2 500)。与之相比，修正的后验分析对T的取值具有稳健性。由于检验统计量需要根据模型和估计量去修正，size的改善会导致计算成本的增加。所以，我们建议大家在样本内观测T很大时(T=2 500，n=250)采用基本后验分析方法，在样本内观测T较小时(T=250，n=250)采用修正的后验分析方法。

模拟检验结果也说明了，无条件后验分析和条件后验分析是互补的，而不是替代的。因此，我们建议在实践中同时使用两种后验分析方法。模拟结果也显示，相比于VaR的检验，基于ES的检验效能更好。在本文下一节，我们将采用2007年金融危机期间三大股指的真实数据，进一步验证我们的结论。

表1 显著性水平5%，T=250，ESt(0.1)和VaRt(0.05)的实证拒绝率

表2 显著性水平5%，T=250，ESt(0.05)和VaRt(0.025)的实证拒绝率

表3 显著性水平5%，T=250，ESt(0.025)和VaRt(0.01)的实证拒绝率

表4 显著性水平5%，T=500，ESt(0.1)和VaRt(0.05)的实证拒绝率

表5 显著性水平5%，T=500，ESt(0.05)和VaRt(0.025)的实证拒绝率

表7 显著性水平5%，T=2 500，ESt(0.1)和VaRt(0.05)的实证拒绝率

表8 显著性水平5%，T=2 500，ESt(0.05)和VaRt(0.025)的实证拒绝率

表9 显著性水平5%，T=2 500，ESt(0.025)和VaRt(0.01)的实证拒绝率

五、实证应用

我们通过采用2007年金融危机期间全球三大股票指数，来检验ES作为风险度量指标的优点。实证结果显示，VaR后验分析方法在金融危机时期不能拒绝常规风险模型(残差项服从Student-t分布的AR(1)-GARCH(1,1)模型)；但本文提出的ES后验分析方法能够在金融危机时期显著拒绝常规风险模型。我们的实证结果补充了Kourouma等(2011)及O’Brien和Szerszen(2014)的研究，他们分别以金融危机期间的股票指数和美国五大银行为研究对象，评估了传统后验分析的表现。为与之对比，我们将比较传统VaR后验分析和本文ES后验分析的表现。*重复本文实证应用的R code，可以通过Run My Code网站获得(http://www.runmycode.org/)。

具体而言，本文采用S&P500指数、DAX指数以及恒生指数的日度数据展开分析。数据通过finance.yahoo.com获得，时间期限是1997.1.1-2009.6.30。表10从样本内和样本外两个时间段对三大股指进行了描述统计，样本内时间是1991.1.1-2007.6.30，样本外时间是金融危机期间的2007.7.1-2009.6.30。概括地讲，股票指数呈现了尖峰后尾和波动率聚集的特点，并且这些特点在金融危机期间尤为明显。表10显示，三大股指的超额峰度取值都很大，特别是1997年亚洲金融危机导致了恒生指数的超额峰度最大。图1显示，三大股指的对数收益率存在波动率聚集现象，金融危机期间股指收益的波动更为明显，尤其是标普500指数在2008.7 -2009.3期间几乎下降了一半。在2001-2003年期间，由于911恐怖袭击和股市处于整体下行的阶段，S&P500指数和DAX指数具有很大的波动。香港恒生指数则在1997年末经历了明显的波动。

表10 三大股指对数收益(%)的描述性统计

图1 三大股指的日均对数收益率

表11 条件极大似然估计(CMLE)

图2-4分别绘制了S&P500指数、DAX指数以及恒生指数的VaR(0.05)和ES(0.1)估计结果。从中可知，-ES(0.1)要小于-VaR(0.05)。当Yt低于-VaR(0.05)时，-ES(0.1)更加接近真实的Yt。以2008年9月15日为例，当天雷曼兄弟破产，S&P500指数下降4.83%，模型估计出的VaR(0.05)是1.82%，ES(0.1)则是2.65%，所以ES估计值更加接近真实损失。S&P500指数收益在2007.7.1-2009.6.30期间共有504个观测值中，其中41个观测值小于-VaR(0.05)。在这41个观测值中，S&P500指数的平均损失是3.82%，VaR(0.05)的平均值是2.79%，而ES(0.1)的平均值则是3.07%。另外，还有11个观测值小于-ES(0.1)，S&P500指数的平均损失是3.76%，VaR(0.05)的平均值是3.13%，而ES(0.1)的平均值则是3.20%。因此，ES比VaR更好地描述了极端损失，通过DAX和恒生指数也可以得到类似结论。

图2 S&P 500指数的对数收益以及VaR和ES估计值

图3 DAX指数的对数收益以及VaR和ES估计值

图4 恒生指数的对数收益以及VaR和ES估计值

表12 违背的描述统计：危机前与危机后

图5 金融危机期间三大股指的累积违背

总之，基于VaR的后验分析，我们会认为正常时期建立的风险模型在金融危机发生后也是适用的，并且据此计算的存款准备金也是足够的。但是，如果采用ES度量风险，本文提出的后验分析方法可以明确地拒绝正常时期的风险模型。我们的实证分析证实了ES相比于VaR更具备理论优势(Artzer等，1997，1999)，并且该理论优势也可以在市场风险的后验分析中获得经验证据。本文基于累积碰撞序列提出的一套后验分析方法，不仅有助于评估金融损失发生的可能性，也有助于发现金融损失的规模大小。

表13 ES和VaR后验分析的p值

注：U是基本的无条件后验分析，MU是稳健的无条件后验分析，C(5)是m=5的基本条件后验分析，MC(5)是m=5的稳健条件后验分析。

图6 三大股指的t(0.025)样本自相关

图7 三大股指的t(0.01)样本自相关

六、结 论

尽管大量的理论证据表明，ES作为风险度量指标比VaR更具有优越性，但是直到最近金融机构和监管者才开始采用ES替换VaR。在这个转变过程中，一大挑战是没有工具可以用来评估ES模型(即，后验分析)。本文通过累积碰撞序列构建ES的无条件和条件后验分析，这也是基于碰撞序列对VaR进行后验分析的自然推广。但与碰撞序列不同，累积碰撞序列包括了尾部风险的信息，为风险提供了更加完整的描述。

本文提出了基本的无条件和条件后验分析方法和对估计风险保持稳健性的经修正的后验分析方法。无条件后验分析采用t检验对累积碰撞序列的均值进行假设检验，条件后验分析采用基于累积碰撞序列的Box-Pierce检验。同时，我们也建议大家采用累积碰撞序列的图形和自相关系数作为补充工具。在具体应用中，实践者需要对条件后验分析做出两个选择，分别是置信水平α和自相关阶数m。对于ES，我们建议选择α等于0.1、0.05或0.025，不建议取更小的值，因为此时需要很大的样本外观测才能对有限样本得到满意的渐进分布性质。关于自相关阶数的选择，我们选取了m=5。当然，一个合理的做法是通过数据驱动方法选择m(Escanciano和Labato，2009b)。该种方法在其他环境下被证明可以获得可靠的推论，它也可以用于本文情形中，从而以较小的计算成本获得数据驱动的ES后验分析。

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[43]Yamai Y, Yoshiba T. Comparative analyses of expected shortfall and value-at-risk: Their estimation error, decomposition, and optimization [J]. Monetary and Economic Studies, 2002, 20(3):87-122.

[44]Yamai Y, Yoshiba T. Value-at-risk versus expected shortfall: A practical perspective [J]. Journal of Banking and Finance, 2005, 29(4):99-115.

附录A：假设

本节介绍检验方法所需的假设和一些公式。我们首先介绍一些符号。||·||表示欧几里德范数，C表示各个表达式中的一般常数，可以随表达式而变化。

(A.1)

假设A0：给定信息集Ωt-1，Yt的条件分布是G(·,Ωt-1,θ)。

假设A3：信息截尾(informationtruncation)的影响要满足，

假设A4：Ft(θ,x)关于θ和x∈[0,1]连续可微，并且关于vφ也几乎肯定连续可微，

其中，A0在文献中常用，它假设模型是正确设定的。该假设也可以放松到如下形式，但不会改变本文的理论。P(Yt≤y|Ωt-1)=G(y,Ωt-1,θ0) for ally≤G-1(α,Ωt-1,θ0)。

假设A1是为了阐述的方便。我们的结果，可以扩展到一些非平稳和非遍历性的序列中(Escanciano，2007)。大多数常用的估计量可以满足假设A2，比如(拟)极大似然估计量和广义距估计量(Bose，1998；Wu，2007)。假设A3是信息截取的影响，由于很久之前的观测数据不可获得，所以产生了信息截取问题。很多有限二阶距的时间序列模型都可以满足假设A3，包括平稳不可逆的ARMA过程、GARCH过程等等(Bai，2003；Hong和Li，2003)。马尔科夫过程则不需要该假设。假设A4是为了满足某些实证过程和大数定律的渐进同等连续性。

附录B：估计效应(EstimationEffect)的表达式

Yt=μt+σtεt

(B.1)

(B.2)

其对应的可行估计是，

类似地，对修正的VaR后验分析而言，我们有：

附录C：证明

证明定理A1：首先考虑没有信息截尾的情况。

如果G仅仅依赖于有限阶滞后的Yt和Xt，则不存在信息截尾的情形。可以从Escanciano和Olmo(2010)定理1的证明中得到类似的论据。在假设A0-A2以及A4下，

因此，

因此，

注意，等式右侧第一项依分布收敛于N(0,vφ)，并且前两项的协方差为零，因为第一项是针对样本外观测的式子，第二项是针对样本内观测的式子。从而完成了定理A1的证明。

其次，考虑信息存在截尾的情形。

定理1、推论1以及推论3的证明，可以直接从定理A1中得出。

接下来，我们证明一般化的定理2，为此我们需要如下引理。定义，

引理A1：在假设A0-A4下，我们有：

引理A1是Du(2015)定理1的一个特殊情形，所以省略此处的证明。

其中，Rj见下式，δij是克罗内克函数，δij在i=j时取值1，否则取值0。

(C.1)

证明定理A2：首先考虑没有信息截尾的情形。

如果G仅仅依赖于有限阶滞后的Yt和Xt，则不存在信息截尾的情形。注意，

通过引理1和引理2可得，

(C.2)

其中，

(C.1)式定义了Rj。由假设A4可对上式进行期望与积分互换，分部积分原理参见Shiryaev(1996，pp.206)。

然后，我们可得出，

接下来，我们考虑存在信息截尾的情形。

通过证明可知，上式中的第一项是op(1)。因为，

推论2和推论4可从定理2得出。

BacktestingExpectedShortfall:AccountingforTailRisk

Du Zaichao1，Juan Carlos Escanciano2

(1.ResearchInstituteofEconomicsandManagement,SouthwesternUniversityofFinanceandEconomics,Chengdu610074,China；2.DepartmentofEconomics,IndianaUniversity,BloomingtonIN47405,USA)

The Basel Committee on Banking Supervision(BIS)has recently sanctioned Expected Shortfall(ES)as the market risk measure to be used for banking regulatory purposes, replacing the well-known Value-at-Risk(VaR). This change is motivated by the appealing theoretical properties of ES as a measure of risk and the poor properties of VaR. In particular, VaR fails to control for “tail risk”. In this transition, the major challenge faced by financial institutions is the unavailability of simple tools for evaluation of ES forecasts(i.e. backtesting ES). The main purpose of this article is to propose such tools. Specifically, we propose backtests for ES based on cumulative violations, which are the natural analogue of the commonly used backtests for VaR. We establish the asymptotic properties of the tests, and investigate their finite sample performance through some Monte Carlo simulations. An empirical application to three major stock indexes shows that VaR is generally unresponsive to extreme events such as those experienced during the recent financial crisis, while ES provides a more accurate description of the risk involved.

risk management; expected shortfall; backtesting; tail risk; Value-at-Risk.

F830.91；F830.99

A

1001-9952(2017)12-0074-26

10.16538/j.cnki.jfe.2017.12.006

2017-06-28

国家自然科学基金(71401140)；the Spanish Plan Nacional de I+D+I (ECO2014-55858-P)

杜在超(1980-)，男，山东烟台人，西南财经大学经济与管理研究院教授；

Juan Carlos Escanciano(1975-)，男，美国印第安纳大学经济系教授。

(责任编辑 石 头)