四旋翼飞行器建模及其运动控制*

郭 勇， 汪大伟， 邓 宇

(1.中南大学 高性能复杂制造国家重点实验室，湖南 长沙 410083； 2.山河智能装备股份有限公司 国家级企业技术中心，湖南 长沙 410100)

四旋翼飞行器建模及其运动控制*

郭 勇1,2， 汪大伟1， 邓 宇2

(1.中南大学高性能复杂制造国家重点实验室，湖南长沙410083；2.山河智能装备股份有限公司国家级企业技术中心，湖南长沙410100)

针对四旋翼飞行器是一个欠驱动、强耦合、非线性系统，提出了运用反步法解决系统非线性问题，达到对飞行器快速、准确、稳定控制目的。研究了以反步法作为非线性设计工具对飞行器控制系统的设计问题，将飞行控制系统分为内外环2个子系统。建立四旋翼飞行器动力学及运动学方程，并对数学模型进行适当简化。利用反步法求解飞行器内环姿态控制律，实现对目标姿态角的稳定控制；利用比例—积分—微分(PID)作为飞行器外环位置控制律，实现对目标位置的稳定控制。搭建飞行器系统模型，进行Matlab/Simulink仿真实验，结果表明：在小角度飞行和悬停状态下，飞行器的位置与姿态精度得到了有效控制，验证了数学模型与控制律设计的准确性。

四旋翼飞行器； 反步法； 非线性； 控制律； 比例—积分—微分

0 引 言

四旋翼飞行器具有4个控制输入和6个自由度，属于典型的欠驱动非线性系统。飞行器4个电机产生的升力作为系统输入量，空间位置与姿态信息作为输出量[1，2]。根据飞行过程中机体位置与姿态的耦合关系，将整个系统划分为内环姿态控制和外环位置控制2个子系统。

目前，关于四旋翼飞行器欠驱动系统模型的控制方法有：1)Sliding-Mode滑模控制法[1，4]，具有较好的抗扰性但滑模控制会出现抖动现象且容易引起控制量的饱和问题；2)自抗扰控制(active disturbance rejection controller,ADRC)法[1,5],不依赖精确的数学模型且能够对系统内外干扰进行估计补偿；3)线性二次调节(LQR)法[1,3],分析较为简便，但使用时需要基于一定假设条件，不可以直接应用于非线性系统中。本文采用反步法[5～12]，能够处理一些非线性、不确定性影响的问题，而且其稳定性及误差的收敛性已得到证明。

本文分析并建立了飞行器数学模型，利用反步法设计内环姿态控制器，利用经典比例—积分—微分(PID)法[2,11]作为外环位置控制器设计方法。最后根据建立的模型和控制器在计算机上进行了仿真实验，仿真结果表明：反步法和PID法能够很好地实现对飞行器位姿的控制。

1 飞行器建模分析

为了建立四旋翼飞行器的数学模型，假设：1)飞行器是一个十字形对称的刚体结构；2)机体坐标系原点位于机体几何中心处；3)不考虑阻力对飞行器的影响；4)电机产生升力大小与转速平方成正比。在三维设计软件Pro/E中，建立四飞行器机体模型，如图1(a)所示。

图1 飞行器三维模型及其结构示意

根据牛顿运动定律建立飞行器在外力作用下的线运动方程[4]

(1)

飞行器在外力矩作用下的角运动方程

(2)

飞行器在三维空间运动时，分别受到由电机产生的力和力矩作用[14]

(3)

式中ωi,i=1,2,3,4为对应4个电机转速；kb，kd为升力系数，反扭力矩系数；Ui,i=1,2,3,4分别为垂直合力、俯仰合力、滚转合力及偏航合力矩，作为系统控制量。在对系统进行简化分析时可将直流无刷电机模型[2]近似为惯性环节。

1.1 动力学模型建立

(4)

式中Mx，My，Mz为机体绕x，y，z轴转动产生的力矩

Mx=lU2；My=lU3；Mz=lU4

(5)

将式(4)，式(5)，式(7)代入式(6)得到飞行器角运动加速度如下

(6)

从机体坐标系到惯性坐标系的转换矩阵[5]

(7)

满足简化表达c·=cos(·),s·=sin(·)。

1.2 运动学模型建立

根据牛顿第二定律建立机体运动学模型，在惯性坐标系下机体受到合外力

(8)

将式(3)、式(9)代入式(10)可得飞行器线运动加速度

(9)

式(6)，式(9)共同构成了飞行器的非线性模型。

2 反步法原理与内外环控制律设计

反步法[1]逆向递推原理如图2所示。

图2 反步法原理

考虑非线性系统一般形式[15]

(10)

式中 [ηT,ξ]T∈Rn+1为状态量；ξ为输入；=u，u∈R为输入控制量；函数f:D→Rn和g:D→Rn在包含原点η=0和f(0)=0的定义域D⊂Rn上是光滑的。假设方程(10)可通过一个光滑的状态反馈控制律ξ=φ(η),φ(0)=0稳定即能够满足φ(η)的原点是渐近稳定的[15]。

2.1 内环子系统控制律设计

以俯仰通道为例推导姿态子系统控制律设计过程[16]。在飞行器俯仰通道中，定义状态变量

x1=θ,x2=

(11)

(12)

(13)

选取Lyapunov函数V2为

(14)

(15)

取控制输入量

(16)

(17)

同理得滚转，偏航通道控制量U3，U4

(18)

(19)

式中a2=(Jzz-Jxx)/Jyy；b2=1/Jyy；参数ci,i=1,2,3,4,5,6均可调;a3=(Jxx-Jyy)/Jzz;b3=1/Jzz;z3，z4，z5，z6为中间虚拟控制量。

2.2 外环位置控制律

经典PID控制由比例、积分和微分三部分组成的，其针对输入与输出的反馈误差e(t)实现对输出的控制。高度通道[2]不与其他通道存在耦合关系，可单独考虑。实时高度值z可由机体上气压高度传感器获得。

高度误差控制量

ez(t)=z-zd

(20)

飞行器高度控制量

(21)

(22)

文中飞行器模型简化和仿真验证是基于小角度飞行及悬停状态下进行的，当控制外环水平位置时，式(9)中俯仰、滚转姿态角作为输入。为了保证飞行器飞行过程中姿态角输入不能过大，需要进行平滑限幅处理。俯仰、滚转姿态角参考输入表达式为

(23)

3 控制系统仿真实现

表1 实验用飞行器模型参数

文中给出了系统内外环控制回路的实验结果，如图3～图7所示。其中图3为在开环状态下模型姿态角自然响应曲线。由图可知，在给定输入下滚转角、偏航角均出现持续振荡现象，俯仰角度趋近于0°。图4为在开环状态下模型位置自然响应曲线。由图可知，在给定输入下系统沿x,y,z三轴位置输出均持续振荡且发散。图5为系统在闭环状态下姿态角输出响应曲线，由图可知，滚转、俯仰及偏航角均能够收敛。系统输出曲线响应时间约为t=2 s且在5 s内达到稳定。图6为在闭环状态下位置输出响应曲线，由图可知，位置输出调整快速，波动较小且飞行器在2 s内到达预定位置且保持稳定。图7为在闭环状态下位置跟踪输出响应曲线，设置飞行器跟踪起始位置(0,-1,0)，终点位置(0，-1,3.2)。由图可知，跟踪曲线(实线)与参考曲线(虚线)之间存在一定的合理误差，但整体上位置跟踪取得了良好效果。

图3 模型开环姿态角度曲线

图4 模型开环位置信息曲线

图5 反步法闭环姿态角度曲线

图6 PID闭环位置信息曲线

图7 闭环空间位置跟踪曲线

4 结束语

针对四旋翼飞行器位置与姿态间的耦合关系，提出了基于内外环子系统的不同控制策略，即分别对内环采用反步法、外环采用经典PID法设计子系统控制器。通过Matlab仿真平台进行实验，系统动态响应快速平稳，验证了飞行器数学模型建立的合理性，实现了对飞行器位置与姿态较为准确地控制。

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Modelingandflightcontrolofquadrotor*

GUO Yong1,2, WANG Da-wei1, DENG Yu2

(1.StateKeyLaboratoryofHigh-PerformanceComplexManufacturing,CentralSouthUniversity,Changsha410083,China;2.NationalEnterpriseR&DCenter,SunwardIntelligentEquipmentCoLtd,Changsha410100,China)

Considering quadrotor is an underactuated,strong coupling,nonlinear system,in order to achieve purpose of quick,accurate and stable control of quadrotor，backstepping method is proposed to solve the nonlinear problem of the quadrotor.Meanwhile，overall control of quadrotor is divided into inner loop and outer loop subsystem.The first step is establishing the dynamics and kinematics equations of the quadrotor,and simplify the mathematical model.Backstepping method is used to solve control law.In view of the couple relationships,the backstepping method is applied to the inner loop for attitude control;the PID method is used in the outer loop for position control.Set up system modeles,the control system is simulated on Matlab/simulink platform.The simulation results show that the controls of attitude and position gain good results under small attitude angles or hovering conditions.The validity of controllers designed and math model is proved by simulations.

quadrotor; backstepping; nonlinear; design controlling laws; proportion integration differentiation(PID)

10.13873/J.1000—9787(2017)11—0038—04

TP 273

A

1000—9787(2017)11—0038—04

2016—09—27

湖南省重大科技成果转化项目(2012CK1003);国家科技支撑计划资助项目(2014BAD06B07)

郭 勇(1967-)，男，高工，副教授,硕士生导师，主要从事工程机械控制、机电液一体化等方面研究工作。

汪大伟(1990-)，男，通讯作者，硕士研究生，主要研究方向为机械电子、自动控制等，E—mail：143712100@csu.edu.cn。