地方经济GDP的预测方法研究

宋妍慧+胡良剑

摘 要：基于Holt-Winters模型、X12-ARIMA模型和SARIMA模型，利用Eviews软件对湖州市小吴兴区从2011年第一季度到2016年第四季度GDP数据进行分析和预测。通过比较相对误差，结果表明SARIMA模型与其他模型相比相对误差较小，预测精度较高。最后选择SARIMA方法对湖州市小吴兴区2017年度的GDP进行预测。

关键词：GDP，时间序列，Holt-Winters，X12-ARIMA，SARIMA

中图分类号：F127；F201 文献标志码：A 文章编号：1673-291X（2017）32-0004-06

引言

国内生产总值（Gross Domestic Product，GDP）是指一个国家所有常住单位在一定时期内生产并提供给社会最终使用的货物和服务的价值总量[1]。它能够反映出一个国家或地区的经济增长程度、经济规模大小等基础性的经济指标，是国际上使用最广泛的衡量国民经济发展变化情况的重要指标。GDP在世界各国、国际组织、学术机构和企业中得到广泛应用，目前已经成为世界范围内通用的经济总量指标。各国政府和经济学家都十分重视GDP的研究工作。我国于1985年正式开始核算GDP。

季度GDP能够反映季度经济总量、经济增长率等重要宏观经济数据，具有时效性，能够及时反映近期经济发展趋势，便于宏观经济管理部门及时拟定正确的经济政策，采用有效措施，来确保宏观经济可以平稳发展[2]。由于季度GDP数据具有时效性的特点，所以备受宏观经济管理者的重视。这是因为生产活动具有季节性而需求活动同样具有季节性，许多的季节性因素对于季度GDP核算产生了重要的影响，所以季度GDP数据的季节性表现尤为突出。

2008年，刘薇建立ARIMA模型对吉林省未来几年的GDP进行预测[3]。2010年，魏宁建立ARIMA模型用来预测陕西省的年度GDP[4]。2013年，冯超运用X12-ARIMA模型和SARIMA模型对中国保费的月度收入进行预测[5]，其方法在GDP预测的过程中值得借鉴。为了找到较为精确地预测湖州市小吴兴区GDP的方法，我们采用Holt-Winters模型、X12-ARIMA模型和SARIMA模型分别进行预测分析[6]，通过比较，发现SARIMA的效果最好。

一、模型介绍

（一）ARIMA模型

ARMA模型是一个应用比较广泛的时间序列模型。当我们发现时间序列是平稳的并且在此时间序列内没有丢失的数据时，我们就可以用ARMA模型进行分析和预测。

ARMA（p，q）的一般表达式记作：

?（L）Yt=θ（L）εt

其中

?（L）=1-?1L-?2L2-，…-?pLp

θ（L）=1-θ1L-θ2L2-，…-θqLq

Yt代表时间序列，L为后移算子，即LYt=Yt-1，?1，?2，…，?p是自回归模型系数，p为自回归模型的阶数，是移动平均模型系数，q为移动平均模型的阶数，εt是均值为0，方差为σ2的白噪声序列[7]。

但如果时间序列Yt具有趋势性，或者说是非平稳的，我们需要先对它进行d次差分，以得到平稳的时间序列Xt，而此Xt为ARMA（p，q）序列，我们将原非平稳的时间序列称为ARMA的d阶求和序列，记为ARIMA（p，d，q），它的一般表达式如下：

?（L）（1-L）dYt=θ（L）εt

（二）SARIMA模型

對于一些有着显著的周期性变化的时间序列，需要对序列进行差分和季节性差分，从而消除它的周期性和趋势性。如果序列经过d阶差分和D阶长度为s的季节性差分后才变成平稳序列，那么就适用于SARIMA模型，SARIMA模型的一般形式如下[8]：

?（L）Φ（Ls）（1-L）d（1-Ls）DYt=θ（L）ΘLsεt

其中，Φ（Ls）=1-Φ1Ls-Φ2L2s-…-ΦPLPs是季节性P阶自回归多项式，

Θ（Ls）=1-Θ1Ls-Θ2L2s-…-ΘQLQs是季节性Q阶自回归多项式。

（三）X12季节调整方法

季度时间序列数据通常表现出有规律的季节变动，所以我们选择通过使用X12的方法对原始时间序列数据进行季节性调整，剔除季节要素，将原数据分解成趋势循环项TCt，季节项和不规则要素It[7]。本文主要用到的模型为加法模型和乘法模型。

1.加法模型

当时间序列的各成分之间的关系相互独立、互不影响时，可以使用加法模型，它的一般表达式为：

Yt=TCt+St+It

2.乘法模型

当时间序列的各成分之间相互作用时，我们选择乘法模型，比如，趋势循环要素上升时，季节因素也同样上升，那么可以认定他们不是相互独立的关系。乘法模型的一般表达式为：

Yt=TCt×St×It

（四）Holt-Winters模型

指数平滑法是一种预测时间数列数据的方法，当我们只有少量数据来预测未来的发展趋势时，指数平滑法也是一个极为有效的方法。

但是许多真实的时间序列数据不仅仅是具有线性的时间趋势而且具有季节的变化，以我们的样本数据湖州市季度GDP来说，很明显地看出，此数据具有明显的季节性趋势，呈现周期性的变化，所以，简单的非季节模型对于此类数据的预测是不准确的，我们需要选择Holt-Winters加法模型和Holt-Winters乘法模型来进行预测。

1.Holt-Winters加法模型

加法模型适用于具有线性趋势和加法季节变化的序列，时间序列的平滑序列可以表示为[7]：

t+k=at+btk+ct+kendprint

其中，t代表样本取值时间，t=s+1，s+2，…T，T是时间序列的最终点，s代表季节周期长度，k代表向后平滑的期数，k>0，t+k代表将要预测的时期，at代表截距，bt代表斜率，两者共同表示序列的趋势，ct代表加法模型的季节因子。

三个系数的递归式定义为：

at=α（yt-ct-s）+（1-α）（at-1+bt-1）

bt=β（at-at-1）+（1-β）bt-1

ct=γ（yt-at）+（1-γ）ct-s 其中，α，β，γ在0到1之间，为阻尼因子。

那么，Holt-Winters加法预测模型可以表示为：

T+k=aT+bTk+cT+k-s

其中cT+k-s取已知的时间序列最后一年的季节因子。

2.Holt-Winters乘法模型

乘法模型适用于具有线性趋势和乘法季节变化的序列，时间序列的平滑序列可以表示为[7]：

t+k=（at+btk）ct+k

其中ct代表乘法模型的季节因子。

三个系数的递归式定义为：

at=

α+（1-α）（at-1+bt-1）

bt=β（at-at-1）+（1-β）bt-1

ct=γ

+（1-γ）ct-s

其中，α，β，γ在0到1之间，为阻尼因子。

那么，Holt-Winters乘法预测模型可以表示为：

T+k=（aT+bTk）cT+k-s

二、实证分析

首先，我们假定2016年第二季度到第四季度的数据为未知数据，分别利用Holt-Winters方法、X12-ARIMA方法和SARIMA方法建立模型，然后比较预测值和真实值之间的差距，找出相对误差较小的研究方法，最后利用找到的研究方法预测2017年的湖州市GDP数值。

（一）Holt-Winters方法

通过Eviews软件，分别使用Holt-Winters加法模型和乘法模型对湖州市小吴兴区的GDP进行预测[9]，预测结果及相对误差值见表1。

从上述的预测结果可以看出，在预测GDP的过程中，Holt-Winters加法模型比乘法模型预测的相对误差较小，由此可见，Holt-Winters加法模型的预测效果更好。

（二）X12-ARIMA方法

1.X12-ARIMA加法模型

使用X12加法模型对GDP数据进行季节性调整，我们得到4组数据：GDP_SA，即经过季节调整之后的GDP的数值；GDP_TC，即趋势循环变动；GDP_SF，即季节因子；GDP_IR，

即不规则变动。另外，我们将季节因子的预测值记为GDP_SFF，

经过季节调整之后的GDP的预测值记为GDP_SAF，不规则变动的预测值记为GDP_IRF，最终的GDP的预测值记为GDPF。

我们通过观察分解的结果，可以很明显地看出该时间序列的趋势性，其具有明显的上升趋势。在加法模型中，经过季节调整之后的实际GDP的数值GDP_SA等于GDP_TC与GDP_IR的和。而GDP_SF具有比较规律的变动，这对我们的实际预测有很重要的作用。

由于我们建立的是X12-ARIMA加法模型，我们可以得到

GDPF=GDP_TCF+GDP_IRF+GDP_SFF=GDP_SAF+GDP_SFF，所以，我们需要将季节调整后的数据GDP_SA进行建模，并根据季节因子的规律性变动特点进行分析，最终得到我们所需要的GDP的预测值。

（1）模型的平稳性检验及处理

首先，我们需要对GDP_SA序列进行单位根检验，以此来判断序列的平稳性。利用Eviews软件分析，我们发现，T统计量为-3.13大于10%显著性水平下的检验值-3.30，且p值大于0.05，即接受原单位根假设，所以，我们可以判定该序列是不平稳的，需要对其进行差分处理。

经过一阶差分后，得到序列DGDP_SA，它的p值为0.0213，显著小于0.05。据此，我们可以判定，经过一阶差分后的时间序列为平稳的。

（2）模式识别

对DGDP_SA进行ARMA建模，ARMA模型的识别与定阶可以通过观察样本的自相关图和偏自相关图获得，经过一次差分后的自相关和偏自相关系数如图1所示。通过观察可知，偏自相关系数仅在第一阶和第二阶显著不为0，所以p=1或者p=2，序列的自相关系数仅在第一阶显著不为0。我们选q=1或者q=0，尝试建立以下模型ARIMA（2，1，0）或者ARIMA（1，1，1）。然后观察残差序列是否是白噪声，经过分析，两个模型的残差均为白噪声，通过检验。最优模型的判断还需要借助AIC和SC信息准则来判断，通常AIC和SC的值越小越好，调整的R2代表模型的整体拟合优度，它的值越大，代表了拟合效果越好。我们将两个模型的这三个指标进行对比，对比图见表2。

通过比较我们发现，ARIMA（1，1，1）模型的AIC值和SC值均小于ARIMA（2，1，0）模型，且调整的R2大于ARIMA（2，1，0）模型，所以我们选择ARIMA（1，1，1）模型进行建模。

模型的估计结果为：

（1-L）（1+0.5706L）GDP+_SAt=（1+0.9995L）εt

（3）模型的预测

首先，我们假定季節调整因子基本不变，所以选择最近的3个季度的季节调整因子作为预测值，2016年第二季度到2016年第四季度的季节调整因子分别为178 587.841 2、-143 197.518 9、173 752.713。endprint

我们将GDP_SA的预测值记为GDP_SAF，结果如表3所示。

根据以上的预测数据，对GDP的最终值进行预测GDPF=

GDP_SAF+GDP_SFF，结果如表4所示。

2.X12-ARIMA乘法模型

我们使用X12乘法模型的思想是：通过类似于加法模型的分解方法，将原始的GDP数据分解为GDP_SA、GDP_SF，GDP_IR，通过对分解后的数据进行预测，最终实现对原始GDP数据的预测，GDPF=GDP_SAF×GDP_SFF，所以同样需要我们对季节调整后的数据GDP_SA进行建模。

（1）模型的平稳性检验及处理

同理，我们对GDP_SA序列进行单位根检验，判定该序列是平稳序列，它的自相关图和偏自相关图如图2所示。

（2）模式识别

由自相关图和偏自相关图可知，偏自相关系数仅在第一阶显著不为0，所以p=1或者p=2，序列的自相关系数直到滞后3阶后才降为0，所以MA的过程应该为低阶，所以q=1或者q=2。我们尝试建立以下模型ARMA（1，1）、ARMA（1，2）、ARMA（2，1），经过分析，三个模型的残差均为白噪声，通过检验[10]。同理，我们将三个模型的三个指标作比较，如表5所示。

同理，ARMA（2，1）的调整R2最大，且AIC和SC最小，所以我们选择ARMA（2，1）模型，去除掉参数不显著的自变量后，模型的估计结果如下：

（1-0.2514L）（1+0.7235L）GDP+_SA=（1+0.8871L）εt

（3）模型的预测

同理，2016年第二季度到2016年第四季度的季节调整因子分别为1.196 497 371、0.846 273 118、1.175 143 048。我们将GDP_SA的预测值记为GDP_SAF，结果如表6所示。

根据以上的预测数据，对GDP的最终值进行预测GDPF=

GDP_SAF×GDP_SFF，结果如表7所示。

从上述的预测结果可以看出，在预测GDP的过程中，X12-ARIMA加法模型比乘法模型预测的相对误差较小，由此可见，X12-ARIMA加法模型的预测效果更好。

（三）SARIMA模型

由于原始时间序列存在一定的时间趋势和季节趋势，为了消除趋势，使其变为平稳的时间序列，我们选择对原始数据进行一阶差分和一次步长为4的季节差分，得到新的序列DDGDP[11]。由ADF检验结果可以得到T统计量为-5.57小于1%的临界水平-2.74，且p值小于0.05，即拒绝原单位根假设，所以，我们可以判定该序列是平稳的[12]。

1.模型的建立

为了找到合适的ARIMA（p，d，q）（P，D，Q）4模型的阶数，需要绘制DDGDP的自相关图和偏自相关图，绘制结果如图3所示。

因为原时间序列经过一阶自然对数差分，消除了时间趋势，经过一次步长为4的季节性差分消除了季节趋势，所以d=1，D=1，下面我们要确定p，q，P，Q的取值，由自相关和偏自相关图我们可以尝试建立ARIMA（2，1，1）（1，1，1）4，ARIMA（0，1，1）（1，1，1）4，经过分析，两个模型的残差均为白噪声，通过检验，最优指标比较图如表8所示。

比较AIC和SC最小和调整R2最大的模型，通过比较表8，最终我们选择模型ARIMA（2，1，1）（1，1，1）4。最终，我们得到模型的估计结果为：

（1-0.854 2L）（1-L）（1-L4）GDPt=（1+0.607 5L）（1+6220）εt

2.模型的预测

利用ARIMA（2，1，1）（1，1，1）4模型，实现了对湖州市小吴兴区2016年第二季度到第四季度的生产总值的预测，预測结果如表9所示。

三、结论

本文利用多种时间序列预测方法，如Holt-Winters，X12-ARIMA，SARIMA等方法，对湖州市小吴兴区从2011年第一季度到2016年第一季度的生产总值进行分析、建模和预测，得到了2016年第三季度到第四季度的预测值。通过比较表1、表4、表7和表9的相对误差，我们发现X12-ARIMA加法模型和SARIMA模型的预测结果都不错，其中，SARIMA方法预测精度最高，相对误差最小，能较好地反映真实情况，所以我们选择利用ARIMA（2，1，1）（1，1，1）4模型对湖州市小吴兴区2017年的季度GDP数据进行预测。预测结果如表10所示。

结果表明，湖州市小吴兴区的GDP在未来的一段时间内将呈现持续增长的趋势，但增长速度回落到20%左右，与2011—2014年相比，经济的增长速度有明显的放缓，这与我国整体经济增速放缓和经济的周期性有关。此结果对于经济宏观调控具有理论和现实的意义。endprint