论数学期望在实际生活中的运用

陈逸龙

摘 要：数学期望是随机变量的结果与概率乘积之和，是概率论中重要的数学特征之一。本文分析了离散型随机变量与连续型随机变量的定义与数学期望的计算方法，并在企业生产决策问题、营销问题与赌局问题三个实例中阐释了数学期望的实际运用。

关键词：数学期望；实际运用；概率

中图分类号：O211.67 文献标识码：A 文章编号：1671-2064（2017）20-0216-02

数学期望代表着概念意义下的统计平均值，客观有效地反映了随机变量的取值分布。作为概率论与数理统计中的重要概念之一，数学期望如今已经成为经济统计、投资分析等领域的重要参数，为更深入的判断与决策提供了准确的理论依据。本文梳理了数学期望的基本概念与计算方法，并进一步探讨期望在实际生活中的具体运用。

1 数学期望的基本概念

1.1 离散型与连续型随机变量

生活中存在许多自然现象，当某种现象的结果具有不确定性和随机性，但结果的取值范围是已知的時候，我们称该现象的结果为随机变量。例如，某一时刻经过某路口的出租车数量、未来某一天的平均温度均是随机变量，它们都无法预知，但结果的区间范围确是可以确定的。

需要注意的是，根据随机变量取值的分布规律，一般把随机变量分为两种类型：离散型随机变量与连续型随机变量。当变量的取值在一定区间内是有限的，这个变量即是离散型随机变量；当取值在一定区间内是无限的，这个变量即是连续型随机变量。正如上文所列举的例子，某一时刻经过某路口的出租车数量便是“可数”的，是离散型的随机变量；而未来某一天的平均温度虽然也可以确定取值范围，但在特定的范围内的取值是“不可数”的，因而是连续型的随机变量。

1.2 数学期望的计算方法

类似于加权平均的方法，数学期望即是随机变量的所有可能取值与其对应的概率乘积之和，概率即是每项结果的“权重”。离散型与连续型随机变量的计算方式有所不同。

对于离散型随机变量X来说：

X的分布律为：

P{X=xk}=pk，k=1，2，3…

若级数收敛，则随机变量X的数学期望E（X）即为。

对于连续型随机变量Y来说：

Y的概率密度函数为：

f（y），y∈（-∞，+∞）

若级数收敛，则随机变量Y的数学期望E（Y）即为。

2 数学期望在实际生活中的运用

2.1 生产决策问题

企业在生产经营过程中，由于无法提前预知其他厂商的生产情况，因而对于产量的抉择是较为盲目的。当市场供给过多时，产品价格会下降进而侵蚀利润，同时商品积压也会增加库存成本。实际上，企业的财务管理人员可以通过历史数据、市场信息，利用数学期望原理进行合理估算，制定出理论上的最佳生产策略。

假设公司有一产品，企业的生产量制定为Y。市场对于该产品的需求量为X，根据历史数据，X服从一定的分布，概率密度函数为f（x）；同时，公司可以通过内部财务数据，测算出当成功销售一单位产品，可获利的金额a，以及当一单位商品滞销损失的金额b。假设企业的生产量为Y，毋庸置疑，企业的目标必然是利润最大化，利润函数为：

利润的期望值E（R）可以根据X的概率密度函数进行计算。

可以看出，E（R）是关于生产量y的函数，由此将问题转化为求解max[E（R）]的问题。只需求得ymax使得利润E（R）的期望值最大，ymax即是最优的生产量。

2.2 营销问题

生活中常见到商家为了促进商品销售，进行各式各样的营销推广，其中一种常见形式就是“集物换礼”的促销方式。商家在每件商品中附赠某种特定标签，集齐全套标签即可兑换特定的礼品。消费者为了获取礼品，增加多余消费的情况屡见不鲜。那么，如何判断该类活动是否值得参与呢？我们利用数学期望的思想可以解决这个问题。

以某实际促销方案为例，某种商品售价10元，每件商品中随机附赠福卡一张，一套福卡为5张。若消费者集齐一套福卡，即可兑换88元现金奖励。显然，在本案例中，我们首先需要计算凑齐五张福卡所需要购买包数的数学期望E（X）。

令E（N）为消费者已经拥有N-1张不同的卡片后再获取一张新卡片所需要购买包数的数学期望。

E（1）=1；

E（2）=1*0.8+2*0.2*0.8+3*0.22*0.8+4*0.23*0.8+……；

E（3）=1*0.6+2*0.4*0.6+3*0.42*0.6+4*0.43*0.6+……；

E（4）=1*0.4+2*0.6*0.4+3*0.62*0.4+4*0.63*0.4+……；

E（5）=1*0.2+2*0.8*0.2+3*0.82*0.2+4*0.83*0.2+……；

可以看出，上述五个式子均是差比数列，可以利用差比数列的求和方法求出具体值。则：

E（X）=E（1）+E（2）+E（3）+E（4）+E（5）

=1+=11.42

对于单个消费者来说，集齐五张福卡后的获利值的数学期望为：

E（88-10X）=88-10*E（X）=-26.2

可见，单个消费者集卡兑换的期望收益为负，因此为了礼品盲目购买的行为是不可取的。

2.3 赌局问题

生活中，我们常常会看到有人街边设置赌局，利用转盘抽奖、象棋残局等为道具，吸引路人参与，最终使得多人上当受骗。本文将利用数学期望的思想，解开街头赌局背后的秘密。

依然以某实际赌局为例。该赌局采用轮盘抽奖的形式，轮盘上有编码为1-10的十个区域与均匀转动的指针，参与者进行随机摇动指针，若摇中1-4游戏结束，摇到5可以获得20元，摇到6-10可以免费再摇一次。游戏每次的参与费为5元，请问游戏设计是否公平？

可以发现，当缴纳一次游戏费后，最终会出现两种结果：结束游戏（奖金为0）和获得20元奖金。我们只需求得获利的期望，即可判断游戏的公平性。

获得20元奖金的概率为：

p（x1）=**+……==

没有获得奖金的概率为：

p（x2）=1-p（x1）=

则获取奖金数额的期望E（X）为：

E（X）=20*p（x1）+0*p（x2）=4

因而对于单个消费者来说，获利值的数学期望为：

E（X-5）=E（X）-5=-1

可以看到，获利值的数学期望为负数。对于任何一个赌博游戏来说，若参与者的获利期望值为负数，则这个游戏设计对于参与者是“不公平”的。因而该游戏不值得参与。

3 结语

通过上述案例分析可以看到，数学期望为企业决策、投资决策乃至生活中的概率问题都提供了客观理性的评判参数。当今社会是一个充斥着海量信息与复杂结构的综合体，这使得未知事件的不确定性进一步增强，而有效地利用概率论中数学期望的概念，能够为各项经济工作提供理论指导，避免无谓的损失。

参考文献

[1]杨四香.数学期望与经济生活[J].经济研究导刊，2013，（17）：194-195.

[2]王亚玲.数学期望在投资决策中的应用[J].科技创新导报，2013，（08）：249+251.

[3]谢彬.浅谈数学期望在生活中的应用[J].黑龙江科技信息，2008，（34）：56.endprint