浅谈丢番图方程x～3±1=3qPy～2的整数解

张宝明

摘 要：随着数论研究内容的不断深入，现阶段数论研究方向逐渐向整数解问题转移，本文以x～3±1=3qPy～2这一丢番图方程的整数解为主要研究对象，这不仅能够丰富数论研究内容，而且还会探索出丢番图方程多样研究方法，同时，有利于吸引相关数学学者对此展开关注，优化丢番图方程问题解决方法，深化丢番图方程理论研究。本文主要分为四部分，第一部分主要对丢番图方程展开了基本介绍，第二部分分析了丢番图方程引理，第三部分总结了相关理论，最后一部分进行了定理说明。

关键词：丢番图方程；整数解；平方剩余；同余式

中图分类号：O156.7 文献标识码：A 文章编号：1671-2064（2017）20-0207-02

目前，研究丢番图方程的学者较多，不同学者针对同一方程所应用的方法不尽相同，虽然整数解处理方法尚未统一，但正是不同方法的差异性应用促进数论内容不断丰富。丢番图方程定理较复杂，个别定理具有生活实用性，部分定理结论尚未明确，从中能够看出，丢番图方程整数解研究方面仍需相关学者不断努力，以此拓展研究范围，探究研究新型研究成果。由此可见，本文针对丢番图方程x～3±1=3qPy～2整数解进行探究，具有一定理论意义和现实意义，具体分析如下。

1 丢番图方程基本介绍

丢番图方程有两种名称，第一种为不定方程，第二种为整数系多项式方程，具体指的是整数系方程，方程内在变量为一个或多个，受相关限制性因素影响，这种方程的求解方式不用于实数方程，即所得方程解仅限整数范围内。丢番图最早研究时间为公元3世纪，研究者为希腊人，该方程主要以整数解为主要研究内容，研究目标有三个，目标一为方程解步骤判断，目标二为方程解个数确定，目标三为方程解结果明确[1]。

丢番图问题即针对等式对应的整数组合具体确定，这一问题所展开的研究即丢番图有效性分析。丢番图方程例子主要有四种，第一种即勾股定理整数解，第二种即费马最后定理，第三种为贝祖等式，第四种为四平方和定理。其中，不定方程形式为m1×1+m2×2+…+mn×n=c的方程，则（m1，…，mn）是c的因子，这是不定方程有整数解的充要条件，如果有二元一次不定方程AX+ BY= C，且（A，B）|C，则其必有一组整数解X1，Y1，并且还有以下关系式[2]：

*X=X1+[B/（A，B）]t

*Y=Y1-[A/（A，B）]t

其中，t為任意整数，因此，不定方程解有无限多个。

丢番图方程发展、应用的过程中，一直研究的问题主要有“是否可以解答？”、“解答结果有几种？”、“解答数目有多少？”、“解答结果能具体确定吗？”。现如今，丢番图方程研究过程中主要发展方向有三方面，即丢番图集——递归可枚举集、研究方法——无穷递降法、研究原理——哈赛原理、丢番图逼近——系数为无理数不等式，变量为整数[3]。

2 丢番图方程引理

丢番图是希腊著名数学家，被人们称为代数之父，这位数学家将所要研究的问题通过符号代替数的方式来深入研究。其中，不定方程研究最早理论研究体现于白鸡问题分析中，即用百钱购买白鸡，鸡翁一，直钱一，鸡母一，鸡雏三，直钱三，直钱五，问母、雏、鸡翁数量各为多少？解决这一数学问题时，分别用M、P、Q代表母、雏、鸡翁个数，这一数学问题即非负整数解M、P、Q，同时，也是三元不定方程组问题。对于丢番图的年龄计算，已知条件为：幼年占六分之一，青少年占十二分之一，又过了七分之一才结婚，五年后生子，子先父四而卒，寿为其父二分之一。”计算丢番图的方程为M/6+M/12+M/7+5+ M/2+4=M，M=84，从中可知，丢番图享年84岁。除了这种算法外，还可以通过这种算法进行年龄计算，即9/[1-（1/6+1/12+1/7+1/2）][4]。

丢番图方程（M是无平方因子正整数），当M不含6k+1形素因子、M含6k+1形素因子，以及M含1个或2个6k+1形素因子等情况进行研究，引出如下引理[5]。

引理1，如果Q=3e（e+1）+1，e∈N，则QX2-3Y2=1的最小解为（2，2e+1）。引理2，设Q为奇素数，则丢番图方程4X14-QY12=1只有正数解Q=3，X1=Y1=1和Q=7，X1=2，Y1=3。引理3，设Q是一个奇素数，则丢番图方程X14-QY12=1只有正数解Q=5，X1=3.Y1=4和Q=29，X1=99，Y1=1820[6]。

3 相关结论

定理1，设Q=，ri≡，其中i大于等于1，小于等于s，并且属于彼此不同的奇素数，Q≡为奇素数，这时丢番图方程为X3+1=3mQY2。在三种不同条件下，平凡解（X，Y）=（-1，0）。

条件一：m=27e2+1，e∈N，Q满足下列三种条件，分别为3Qm mod8；Q4-m（mod8）；m≡1，7，17，23，（）。条件二：m=12e2+1，e∈N，Q满足下列三种条件，分别为3Qm mod8；Q4-m（mod8）；m≡1，7，17，23，（）。条件三：m=3（3e+1）（3e+2）+1，e∈N，Q满足下列三种条件，分别为3Qm mod8；Q4-m（mod8）；m≡1，7，17，23，（）。

定理2，设Q=（），ri≡，其中i大于等于1，小于等于s，并且属于彼此不同的奇素数，Q≡为奇素数，这时丢番图方程为X3-1=3mQY2。在三种不同条件下，平凡解（X，Y）=（1，0）[7]。

条件一：m=27e2+1，e∈N，Q满足下列三种条件，分别为3Q-m mod8；Q4+m（mod8）；m≡1，7，17，23，（）。条件二：m=12e2+1，e∈N，Q满足下列三种条件，分别为3Q-m mod8；Q4+m（mod8）；m≡1，7，17，23，（）。条件三：m=3（3e+1）（3e+2）+1，e∈N，Q满足下列三种条件，分别为3Q-m mod8；Q4+m（mod8）；m≡1，7，17，23，（）。endprint

4 定理证明

证明：设（X，Y）是方程X3+1=3mQY2的整数解，即（X+1，X2-X+1）=3，X2-X+10。又ri≡，其中i大于等于1，小于等于s，并且属于彼此不同的素数，即X2-X+10，并且i大于等于1，小于等于s，这时方程X3+1=3mQY2有下列两种情形，分别为X+1=9Qu2，X2-X+1=3mv2，Y=3uv，（u，v）=1；X+1=9Qu2，X2-X+1=3v2，Y=3uv，（u，v）=1。

情形一：将X+1=9Qu2代入X2-X+1=3mv2，整理得，m（2v）2-3（6Qu2-1）2=1，则（2v，6Qu2-1）是方程eX2-3Y2=1的一组解。对于条件一：m=27e2+1，e∈N，Q满足下列三种条件，分别为3Qm mod8；Q4-m（mod8）；m≡1，7，17，23，（）。因为（1，3e）是方程eX2-3Y2=1的最小解，則方程m（2v）2-3（6Qu2-1）2=1表示为2v√m+（6Qu2-1）√3=±[√m+3e√3]2n+1，。

由2v√m+（6Qu2-1）√3=±[√m+3e√3]2n+1，可得6Qu2-1≡（3e），因为3|3e，所以-1≡（3e），较矛盾，从中可知，上述假设不成立。

对于条件二：m=12e2+1，e∈N，Q满足下列三种条件，分别为3Q-m mod8；Q4+m（mod8）；m≡1，7，17，23，（）。因为（1，2e）是方程eX2-3Y2=1的最小解，则方程m（2v）2-3（6Qu2-1）2=1的全部整数解表示为2v√m+（6Qu2-1）√3=±[√m+3e√3]2n+1，。由2v√m+（6Qu2-1）√3=±[√m+3e√3]2n+1，可得，6Qu2-1≡（2e），因为2|2e，所以-1≡（2e），较矛盾，从中可知，上述假设不成立。条件三利用同样方法证明，也不成立。

情形二，将X+1=9Qu2代入X2-X+1=3mv2，整理得，（2v）2-3（6mQu2-1）2=1，则（2+√3）是方程X2-3Y2=1的根本解，因此有6mQu2-1=±Yn，，即6mQu2-1=±Yn+1，仅考虑6mQu2=±Yn+1，因此，Yn≡。以此代入可知，方程X3+1=3mQY2的平凡解（X，Y）=（-1，0），即定理1成立。

5 结论

综上所述，针对丢番图方程x～3±1=3qPy～2进行整数解分析，通过相关引理，得出相关结论，同时，对其进行定理证明，这对丢番图方程深入分析具有重要意义。本文所研究的丢番图方程在方法应用以及定理证明等方面仍存在些许不足，要想实现丢番图方程的有效性分析，应继续分析研究理论，针对相关理论进行价值探讨、全面学习，以此提高丢番图方程整数解的准确性。

参考文献

[1]杜先存.丢番图方程x～3±1=3qPy～2的整数解[N]. 郑州大学学报：理学版，2015，（1）：38-41+45.

[2]尚旭，王泽灯.关于不定方程x～2+4～n=y～（15）（n=1，2，3）的整数解[J].渭南师范学院学报，2017，（8）：33-41.

[3]杜先存，万飞，杨慧章.关于丢番图方程X～3±1=1267y～2的整数解[J].数学的实践与认识，2013，（15）：288-292.

[4]管训贵，杜先存.关于丢番图方程x～3-1=13py～2的整数解[J].沈阳大学学报：自然科学版，2013，（6）：511-513.

[5]李彤，夏张莉，宿伟玲.求解丢番图方程的模拟植物生长算法[J].中国管理科学，2012，（S1）：143-147.

[6]杜先存，孙映成，万飞.关于丢番图方程x～3+1=3pqy～2的整数解[J].西南师范大学学报：自然科学版，2014，（12）：18-22.

[7]管训贵，杜先存.关于丢番图方程x～3+1=13py～2的整数解[J].贵州师范大学学报：自然科学版，2014，（2）：36-38.endprint