数学思想方法助你“飞”得更高

孔德良

有人把数学中的“知识技能”与“思想方法”比喻为鸟之双翼，如果说扎实的数学知识和基本技能能够帮助你在数学学习中“飞”得更远，那么，数学思想方法就能够帮助你“飞”得更高.从“代数式”这一章内容开始，数学思想方法将在数学学习的过程中扮演越来越重要的角色，起着越来越重要的作用.下面就选择本章中主要的几种数学思想方法，通过例题就其在解决问题的过程中的作用予以分析.

一、特殊到一般思想

例1 下面是小朋友用火柴棒拼出的一组图形：

仔细观察，找出规律，解答下列各题：

（1）第四个图中共有 根火柴，第六个图中共有 根火柴；

（2）按照这样的规律，第n个图形中共有 根火柴（用含n的代数式表示）；

（3）按照这样的规律，第2 017个图形中共有多少根火柴？

解析：（1）13；19；（2）3n+1；（3）6052.

总结：从特殊到一般是数学中重要的思维方式之一，也是重要的数学思想方法，其特征是通过对特殊现象的认识，利用归纳、类比、猜想等方法，探索、发现一般性结论.本题通过观察现有特殊图形，把形的规律转化为数的规律，再利用数的一般性结论，解决形的问题.

二、整体思想

例2 若x2-2x=3，则5x2-10x+1= .

解析：因为x2-2x=3，所以5x2-10x=15，原式=16.

例3 若当x=1时，px3+qx+6的值为2013，则当x=-1时，px3+qx+6的值为 .

解析：当x=1时，得p+q+6=2013，所以p+q=2007，当x=-1时，px3+qx+6=-p-q+6，所以，原式=-（p+q）+6=-2007+6=-2001.

例4 已知a+b=3，ab=6，求2a+2b+ab的值.

解析：原式=2（a+b）+ab=12.

总结：上述三个问题都是求代数式的值的问题，它们有一个共同的特征——在已知条件中无法求出每个字母的确定值，当遇到这种情况时，通常我们可以把一个代数式看作一个整体，求出它相对应的值，再把这个代数式整体代入所要求值的代数式中，这就是整体代入、整體求解的数学思想方法.希望同学们在解题时心中有整体意识，用心体会整体思想，并能适时运用.

三、方程思想

例5 若关于x的多项式（2m-2）x5-3xn+2x-1是三次三项式，求m，n的值.

解析：因为代数式是关于x的多项式，所以m、n都是待定字母，由多项式的次项定义得到2m-2=0，从而m=1，n=3.

例6 若两个关于x、y的单项式8x3-by3b-3与-axyb+a是同类项，则a+b的值为 .

解析：根据同类项的定义可以得3-b=1，3b-3=b+a，从而b=2，a=1.

总结：我们根据定义列出一个等式，而这个等式中含有字母时，正好就变成了一个方程，从方程中就可以求出这个字母的值.事实上，数学中很多的定义都含有相等关系，我们可以利用方程思想进行求解.

（作者单位：江苏省无锡市吴风实验学校）