函数间断点的分类及其计算方法

李一帆

摘 要：气温变化、植物生长都是连续变化的，这种现象在函数关系上反映就是函数的连续性。但有些函数在其定义域内会出现不连续的情况，即断开的情况，这样的点是函数的间断点，本文就来讨论这样的点的类型及其计算方法。

关键词：不连续 间断点 分类 计算方法

中图分类号：G64 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2017）09（b）-0218-02

我们知道，在数学中，基本初等函数在其定义域内都是连续的，但其他类型的函数存在间断点，讨论函数间断点的类型和如何计算的间断点是本文的重点内容。

1 函数的间断点

1.1 间断点的概念

定义：如果函数在处不连续，则称为函数的一个间断点。

1.2 产生间断点的原因

（1）在处没有定义

例如：在处没有定义。

（2）在处没有极限

例如：当时没有极限。

（3）

例如：当时。

1.3 间断点的分类

定义：如果是间断点，当在左右极限都存在时，则称为第一类间断点。若及中至少有一个不存在，则称为第二类间断点如图1。

間断点类型可如图2～4所示。

2 函数间断点的计算方法

例1：求函数的间断点，并判断其分类。

解：因为函数在处没有定义，可以先考察函数在该点处的左右极限。

左极限：

右极限：

所以，

但在没有定义

因此，是第一类间断点，且是可去间断点。

例2：判断函数的间断点的类型。

解：是分段函数，是其间断点。

下面分析在处的左右极限。

左极限：

右极限：

则：

因此，是第一类间断点，且是跳跃间断点。

例3：求正切函数的间断点及其类型。

解：正切函数在处没有定义，且因此，是正切函数的第二类间断点，且是无穷间断点。

例4：求正弦函数的间断点及其类型。

解：正弦函数在点处没有定义，且当时，的函数值在-1和1之间无限次的变动，因此在点的极限不存在，所以，是的第二类间断点，且是振荡间断点。

3 结语

间断点是不连续函数的重要特征，可去间断点或跳跃间断点是函数在该点的左极限、右极限都存在，但第二类间断点是左、右极限至少有一个不存在。函数的间断点在实际生活中也具有十分重要的作用。

参考文献

[1] 吴传生.经济数学—微积分[M].2版.北京：高等教育出版社，2003.

[2 马莹.探讨函数间断点的方法[J].考试周刊，2015（77）：57-58.

[3] 黄玉兰.函数的间断点及其分类[J].企业导报，2015（24）：184-185.endprint