白喜瑞, 沃维丰
(宁波大学数学系,浙江 宁波 315211)
(2+1)维广义破裂孤子方程的非局域对称及相互作用解
白喜瑞, 沃维丰
(宁波大学数学系,浙江 宁波 315211)
根据截断的Painlev´e分析展开法及相容Riccati展开 (CRE)法,研究了 (2+1)维广义破裂孤子方程的非局域对称.利用非局域对称局域化的方法,得到了与Schwarzian变量相对应的对称群.同时,证明了这个方程是CRE可积的,并给出了它的孤立波与椭圆周期波之间的相互作用解.
(2+1)维广义破裂孤子方程;非局域对称;CRE方法;相互作用解
在过去的几十年里,许多的非线性发展方程被发现,它们被用于研究复杂的物理现象.Painlev´e分析是研究这些方程的可积性的重要方法之一[12],并且它还可以用来构造方程的非局域对称.在2013年,Lou等[34]通过截断的Painlev´e展开法提出了留数对称定理.由于留数对称与初始非线性发展方程的Schwarzian形式有着密切的关系,因此它比Darboux变换,Bäcklund变换更易于使这些方程局域化.迄今为止,构造非线性发展方程的精确解的方法已有很多种,例如反散射方法,Darboux变换方法,Hirota双线性方法,对称约化方法,函数展开法等.而非线性发展方程的相互作用解在数学物理中有着重要的应用并且很难构造,因此吸引了越来越多学者的研究.Lou[5]发现了相容Riccati展开(CRE)方法,这种方法不仅验证了许多可积系统是CRE可解的[69],而且与其它方法相比,它对于构造不同类型的相互作用解也更为简单,有效.(2+1)维广义破裂孤子方程的一般形式为:
这里a,b,c,d,e都是任意实参数,下标表示求偏导.方程(1)描述了沿y轴传播的Riemann波与沿x轴传播的长波之间的交互作用.当a,b,c,d,e取某些特殊值时,方程(1)可转化为某些特殊的方程.例如,令
我们可得到破裂孤子方程[10-13]:
文献[11-12]研究了(2)的非局域对称与相互作用解.其它特殊情况可详见文献[14].在文献[14]中,作者通过对方程 (1)进行 Painlev´e分析,得到了一个新的 (2+1)维的广义破裂孤子(GBS)方程,即
当e=2b时,这个方程就变为(2+1)维KdV方程[15−19]
对于特殊的值a=b=1,文献[15]研究了方程(4)的局域聚合结构.文献[16]给出了方程(4)的相互作用解.
本文将对方程(3)展开讨论.文献[14]利用Bell多项式研究了这个方程的孤子解与守恒律;文献[20]给出了它的行波解与周期解;文献[21]利用多维的Riemann theta函数得到了它的拟周期解,并建立了拟周期解与孤子解之间的联系.我们将会在文中第二部分,利用截断的Painlev´e展开法构造方程(3)的非局域对称.同时利用非局域对称局域化的方法,通过一个有限变换将其留数对称转化为拓展系统的Lie点对称,进而可由拓展系统的已知解来构造新的解.在文中第三部分,利用Lou[5]提出的CRE方法验证了(2+1)维GBS方程的CRE可积性,并给出了(2+1)维GBS方程的新的孤波解与椭圆周期波解的相互作用解.
根据文献 [14],我们知道 (2+1)维 GBS系统 (3)是 Painlev´e可积的,它的 Painlev´e截断展开为
其中u0,u1,u2,v0,v1,v2,ϕ是x,y,t的函数.将(5)代入(3),然后令所得方程中的各次幂系数分别为零,可解得
并且u2,v2满足方程(3),ϕ满足
这里λ是任意常数.
令
ϕ满足下面的Schwarzian形式:
Schwarzian方程(10)在下列Möbious变换下是不变的:
定理 2.1如果场ϕ是方程(10)的解,那么
为方程(3)的解,这里C,K,S如(8)定义.
证明将方程(10)和(11)代入(3),即得结论成立.
由留数对称定理[3],显然留数u1和v1是方程(3)相应于解u2和v2的对称,即
为了将非局域对称u1和v1局域化,我们引入四个新的变量
易证(2+1)维GBS方程(3)的非局域对称可被局域化为以下Lie点对称:
拓展系统(3),(11)和(12)的向量场为:
根据Lie第一基本定理[22],通过解下面的初值问题,我们可以得到Lie点对称(14)的有限对称变换群:
因此,有如下定理:
定理2.2若{u,v,p,q,p1,q1,ϕ}是拓展系统(3),(11)和(12)的解,那么也是该拓展系统的解,其中
根据文献[5]中的方法,我们可设方程(3)的解为:
其中 ui,vi,(i=0,1,2),ω是关于x,y和t的函数,且函数R(ω)满足Riccati方程:
上述方程拥有如下形式的解:
这里
a0,a1,a2为任意常数.
把(16),(17)代入(3),比较 R(ω)的不同次幂的系数,可得
且函数ω需满足
式中
经过计算,R(ω)的各次幂系数均为零,因此,我们可以说(2+1)维GBS方程是CRE可解的.综上所述,我们有如下定理:
定理 3.1若 ω是方程(20)的解,R(ω)满足Riccati方程(17),那么
就是(2+1)维GBS方程(3)的解.
在本文中,我们将构造孤立波与椭圆周期波之间的相互作用解,设方程(20)解的形式为
其中
C0,C1,C2,C3,C4为常数.将(23),(24)代入(20),比较W的系数,我们可得到九组解,这里只讨论下面三组解:
其它的参数均为自由参数.经过分析与计算我们可以知道,(25)与(29)为(28)的特殊情况.
众所周知,方程(24)的一般解可用Jacobi椭圆函数来表示.为便于更清晰的了解解的形态及性质,我们选择如下形式的解
其中sn(mξ,n)为一般的椭圆正弦函数.分别将(25),(28),(29)和(30)代入(24),我们将会得到三组解:
这里cn(mξ,n),dn(mξ,n)均为一般的椭圆函数.在这里我们同样可以看出,当第三组解中的某些常数取为特殊值后,即可转化为(31)中的前两组解.
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Nonlocal symmetries and interaction solutions for the new(2+1)dimensional generalized breaking soliton equation
Bai Xirui,Wo Weifeng
(Department of Mathematics,Ningbo University,Ningbo 315211,China)
According to the truncated Painlev´e expansion and consistent Riccati expansion(CRE)method,the nonlocal symmetry for the 2+1-dimensional generalized breaking soliton equation is derived.Moreover,the symmetry group related to Schwarzian can be obtained by the method of localization.Meanwhile,this equation has been proved to be CRE solvable,and the interaction solutions between solitons and cnoidal waves are given.
(2+1)-generalized breaking soliton equation,nonlocal symmetry,CRE method,interaction solutions
O175.2
A
1008-5513(2017)05-0536-09
10.3969/j.issn.1008-5513.2017.05.012
2017-09-24.
国家自然科学基金(11201249);浙江省自然科学基金(LY16A010002).
白喜瑞(1987-),硕士,研究方向:偏微分方程.
沃维丰(1981-),博士,讲师,研究方向:偏微分方程.
2010 MSC:22E70,35Q68,68W30,35C08