从一道不等式应用题说起

郑小华

教学资源是教学的载体，它的开发程度直接影响教学效果。如何充分地开发教学资源，是广大教师面临的一个重大课题。本文以一道七年级下学期不等式的应用题为载体，从三个角度来探究，以阐述如何用开放性思维构建教学点，开发习题资源。

题目：用锤子头相同的力将铁钉垂直钉入木块，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力也越来越大。当未进入木块的钉子长度足够时，每次钉入木块的钉子长度是前一次的1/2，已知这个铁钉被敲击3次后全部进入木块（木块足够厚）且第一次敲击后铁钉进入木块的长是是2cm，若铁钉长度为acm，求a的取值范围。

探究1：如何培养学生良好的数学阅读习惯

本题的文字叙述较长，具备阅读型习题的特点。从结构上看，可以分为三个部分：第一部分：如图（见前述图形），用锤子以相同的力将铁钉垂直钉入木块，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力也越来越大。第二部分：当未进入的钉子长度足够时，每次钉入木块的钉子长度是前一次的1/2（条件1）。已知这个铁钉被敲击3次后全部进入木块（木块足够厚，）（条件2），且第一次敲击后铁钉进入木块的长度是2cm（条件3），第三部分：若铁钉总长度为acm，求a的取值范围。

分析如下：第一部分为问题背景，介绍的是生活中的物理知识，配合插图，以降低难度，让学生轻松进入问题情境，第二部分为题干区，并列提供3个数据条件，且将题目的数量关系包含其中，第三部分为提出问题，它是问题的焦点，具有明确的方向，与题干区有直接的因果关系，是思维的起点也是终点。对习题结构的把握和对各部分功能的认识，有助于学生主动迎合命题目标。作为一道实际问题，它承载着生活知识向数学知识转化的目标，也覆行着数学应用价值向生活回馈的使命，它既是综合数学素养的体现，也是学科交叉渗透的典型代表。从这个意义上讲，教师应提高对问题背景的认识，它能高屋建瓴地帮助学生建立跨学科知识体系，也有助于学生快速而准确地发现题干区和问题之间的数量关系。其次，怎样分析第二、三部分之间的内在关系，是解决问题的核心部分：分析问题→转化问题→运用或创造条析→建立数学模式→解决问题。只要我们明确阅读型习题的命题目标，紧抓习题结构，借助于生活知识和数学知识体系，就能准确地建立起解决实际问题的数学模式。所以，如何培养学生良好的阅读习惯成了本文的第一个探究方向。

探究2：如何挖掘实际问题中的隐含条件

本题探究的是铁钉总长度的取值范围，这说明题目中应该具备不等关系，但通读全题并未发现表示不等关系的关键词。如何挖掘题目中的隐含条件，是值得我们研究的课题。一般来讲，每道数学题均有它的题眼，或直观，或隐蔽，尤其是对于后者，将数量关系、数据特征蕴含在生活之中，或其他学科之中，它挑战着学生的生活经验和跨学科的知识面。就本题而言，如果我们从实践的角度出发，你会发现：锤子敲击两次，铁钉没有完全进入木块；敲击三次才完全进入木块。前者表示：前两次铁钉进入木块的长度之和小于铁钉的总长度，用不等式表示为：2+2×1/2

探究3：灵活进行问题变式，促进习题创新

习题变式，可以解释为举一反三，它能引领学生的思维朝纵深方向发展，对于培养学生的思维能力，提高习题的使用效率非常重要。以本题为例，可作以下变式：

变式1：用锤子以相同的力将铁钉垂直钉入木块，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力也越来越大，当未进入木块的钉子长度足够时，每次钉入木块的钉子长度是前一次的1/2，已知这个铁钉被敲击3次后全部进入木块（木块足够厚），且铁钉总长度为3cm，若第一次敲击后铁钉进入木块的长度为bcm，求b的取值范围。

解析：同原题相比，本题将求解的对象由铁钉的总长度置换为求第一次敲击后铁钉进入木块的长度b的取值范围。求解对象的改变，为本题创造了新的研究角度。但其依赖的不等关系没有改变，仍然是：①前两次铁钉进入木块的长度之和小于铁钉总长度；②前三次铁钉进入木块的长度之和不小于铁钉总长度，由此构造不等式组：

变式2：用锤子以相同的力将铁钉垂直钉入木块，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力也越大，当未进入木块的钉子长度足够时，每次钉入木块的钉子是前一次的1/2，已知铁钉的总长度是3cm，第一次敲击后，铁钉进入木块的长度为1.8cm，求敲击多少次铁钉才能完全进入木块？

解析：本题将探究的目光转移到铁钉要完全进入木块时所需的敲击次数，根据上述不等关系，设第n次敲击后铁钉完全进入木块，列式如下：

观察不等式①、②，可以发现不等式的左边均为等比数列，因此学生面临着对等比数列进行求和的问题，尽管超出了七年级学生的要求，但对于优生而言，老师可以运用错位相减法引导他们去推导等比数列前n项求和公式，这样拓展了探究的内容和方向。

在问题解决过程中还涉及到对含有乘方倒数形式的不等式组的处理，为学生深入解决不等式提供了良好的素材。就本题而言，还可对每次钉入木块的钉子长度是前一次的几分之几进行探究。

其实，很多数学问题具备广泛的变式条件，本着培养学生综合解决问题能力的目标，教学中一旦出现这样的机遇，教师应把它作为优质习题资源深入挖掘。

回归本文宗旨：对一道不等式应用题从三个角度进行探究，也就从三個领域构建教学点，对于培养师生的开放性思维，建立更加完善的知识体系具有强大的推动力。如能对促进有效课堂研讨稍有帮助，本人将深受鼓舞。