Sn×R中具有常平均曲率的超曲面研究

周俊东，黄映雪

（阜阳师范学院 数学与统计学院，安徽 阜阳 236037）

Sn×R中具有常平均曲率的超曲面研究

周俊东，黄映雪

（阜阳师范学院 数学与统计学院，安徽 阜阳 236037）

研究了积空间Sn×R中具有常平均曲率的完备超曲面，通过计算超曲面一些几何量的Laplace，运用Omori-Yau的一般性极值原理，得到一些刚性定理和一个不等式，给出完备超曲面的分类。

积空间；完备超曲面；常平均曲率

积空间中的曲面被广泛研究。S2×R中定角曲面[1]的完全分类研究很多。Batista给出S2×R和H2×R中具有常平均曲率曲面[2]上的一个Simons型方程。Aquino C P等研究了积空间中具有常平均曲率完备超曲面的角[3]。关于积空间中的子流形研究，参考文献[4-7]。

本文研究了Sn×R中具有常平均曲率的完备超曲面，通过活动标架法，首先计算了|T|2的Laplace，利用Omori-Yau的一般性极值原理，得出此类超曲面一定位于Sn中，且是极小。其次计算了第二基本形式模长平方S的Laplace，利用Omori-Yau的一般性极值原理，得出此类超曲面关于Ricci曲率和截面曲率的刚性定理和一个不等式。

1 预备知识

设Mn是Sn×R中的超曲面。在Sn×R上选择局部标架场 e1,···,en+1,当限制在 Mn上时，e1,···,en是切于 Mn和 en+1是法于 Mn。 我们对各类指标范围约定：1≤i,j,k,···≤n,用 t表示 R 的坐标，∂=∂表示R方向的切向量场。∂可作如t∂tt下分解：

在活动标架下，Sn×R黎曼曲率分量可表示：

2 主要定理与证明

定理1设Mn是Sn×R中的具有常平均曲率的完备超曲面，若|T|2≤1且Ricci曲率有下界，2则Mn是位于Sn中的极小超曲面。

证明计算|T|2的 Laplacian：

由Mn是完备的且Ricci曲率有下界，|T|2有界，由引理1可得：对任意的收敛于0的数列。

{εi}→0,(i→∞),则在Mn上存在一组点列{xi}，使得

所以sup|T|2=0,H2=0,即 Mn是位于Sn中的极小超曲面。

定理2设Mn是Sn×R中的具有常平均曲率的 完 备 超 曲 面 ，若 |T|2是 常 数 且Ric(Mn)≥n-1-|T|2,则 Mn是全脐超曲面，或者Mn=Nn-1×R。

证明由|T|2是常数和(1)式得到

选择适当的活动标架使得hinj+1=λiδij,λi是 Mn的主曲率。由式(6)和式(10)，计算Mn的第二基本形式模长平方S的Laplacian，得到如下不等式

由定理条件Ric(Mn)≥n-1-|T|2,和式(12)得到 nHλi≥(n-2)Ti2+λ2i,即所有的 λi是同号的(包括 0)，由式(4)得出

对式 nHλi≥(n-2)Ti2+λ2i关于i求和得到n2H2-(n-2)|T|2≥S,所以S有界。由引理1可得：对任意的收敛于0的数列{εi}→0,(i→∞),则在Mn上存在一组点列{xi},使得

当 i→∞ 时 ，由 式 (11)、(13)、(14)得 到0≤n(sup S-nH2)(1-|T|2)＜0 ，所以 sup S=nH2，即Mn全脐超曲面；或者|T|2=1,∂t是 Mn的切向量，Mn=Nn-1×R。

定理3设Mn是Sn×R中的具有常平均曲率的完备超曲面，若|T|2是常数且Ricci曲率有下界，则在Mn上有不等式

证明计算Mn的第二基本形式模长平方的Laplacian:

由于 Mn的 Ricci曲率有下界，不妨设Ric(Mn)＞q。由式(12)得出

即S有上界，由引理1得出：对任意的收敛于0的数列{εi}→0,(i→∞),则在 Mn上存在一组点列{xi},使得

[1]Dillen F,Fastenakels J,Van Der Veken J,et al.Constant angle surfaces in S2×R[J].Monatshefte für Mathematik,2007,152(2):89-96.

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[4]Chen Q,Cui Q.Normal scalar curvature and a pinching theorem inSm×RandHm×R[J].Science China Mathematics,2011,54(9):1977-1984.

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[10]舒世昌，刘三阳.局部对称流形的具常平均曲率的完备超曲面[J].数学年刊 A 辑，2004，25（1）：99-104.

Complete hypersurfaces with constant mean curvature inSn×R

ZHOU Jun-dong,HUANG Ying-yue

(School of Mathematics and statistics,Fuyang Normal University,Fuyang Anhui 236037,China)

Complete hypersurfaces with constant mean curvature inSn×Rwere investigated.By Laplace of some geometric quantities on hypersurfaces some rigidity theorems and an inequality were obtained with Omori-Yau's generalized maximum principle,and classification for hypersurfaces was given.

product space;complete hypersurfaces;constant mean curvature

O186.1

A

1004-4329（2017）02-006-03

10.14096/j.cnki.cn34-1069/n/1004-4329（2017）02-006-03

2017-02-25

安徽省高校自然科学研究重点项目(KJ2017A341)；阜阳师范学院青年人才重点项目(rcxm201714)；阜阳师范学院科研项目(2016FSKJ04)资助。

周俊东（1983－ ），男，硕士，讲师，研究方向：微分几何。