解矩阵方程的新方法

【摘要】矩阵方程是矩阵计算中的重要部分，在其求解的过程中主要利用初等变换的方法，但对于AXB=C来说，简单的行或列变换并不能进行求解，本文提出新的分块的思想来求X，并进行推广和延伸。

【关键词】矩阵方程 初等变换 分块矩阵

【中图分类号】G642.1 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2017）33-0218-02

【Abstract】Matrix equation is the most important part of matrix calculation， and in the process of its solution is mainly by using the method of elementary transformation， but simple row or column does not solve for AXB=C， so this article puts forward new block ideas for finding X， and extends to promote.

一、引言

在线性代数课程的学习中，初等变换可用来求解矩阵方程。所谓矩阵方程是形如AX=C的形式，求出其中的X。当矩阵A可逆时，X=A-1C[5]。利用初等变换的思想求解如下：

可逆矩阵均可以表示成初等矩阵的乘积，则A-1=P1P2L PS，其中Pi（i=1，2，L，s）为初等矩阵。于是在方程AX=C两端的左边同时乘以矩阵A-1，得到

二、分块矩阵求矩阵方程

若矩阵方程的形式如AXB=C所示，则当矩阵A、B都可逆时，求解矩阵X时相当于在方程的两端的左边同时乘以矩阵A-1，右边同时乘以矩阵B-1，表达出来即X=A-1CB-1[5]。在这种情况下，上述两种求解形式均失效。此时要想利用初等变换的方法求解矩阵X需要寻求新的思路。

求解过程需要对矩阵A进行s次初等行变换的同时对矩阵C进行相同的s次初等行变换，使得矩阵A变成单位矩阵E；然后对矩阵B进行t次初等列变换的同时对矩阵C进行相同的t次初等列变换，使得矩阵B变成单位矩阵E。

根据以上分析，本文提出分块矩阵求解此矩阵方程的思路如下：

三、總结

利用初等变换可以求解矩阵方程，且方程AX=C和XB=C是本文所求解的AXB=C方程形式的特殊形式。在矩阵方程AXB=C中，只需令矩阵B=E和A=E即可得到方程AX=C和XB=C。在初等变换求解矩阵方程的过程更简便易行，所以本文所提出的分块矩阵求解矩阵方程的方法具有有效可行性，有实用价值。

参考文献：

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作者简介：李晓莎（1987.12-）女，汉族，河北省保定市，中国石油大学胜利学院，教师，助教，硕士，数值代数。