带电粒子在场中的运动

胡清志

摘要：研究带电粒子在有电场、磁场和重力场存在的复合场中的运动，首先得认识带电粒子在理想的单一场中的理想运动。在这个基础上，运用场的叠加，力的合成和运动合成的方法分析解决问题，理想模型和理想过程具有重要的意义。

关键词：理想模型；理想运动过程；带电粒子；电场；磁场；重力场

【中图分类号】P144.7

研究物理问题常用到理想模型和理想过程，这样可以抓住主要矛盾，简化问题。所谓理想过程，例如匀速直线运动，简谐运动等，可看成是随时间变化的“理想模型”。复杂的实际过程可以看成是多个理想过程的组合。例如平抛物体的运动可看成水平方向的匀速直线运动与竖直方向的自由落体运动的组合。

研究带电粒子在电场、磁场有时还包括重力场的复合场中的运动，首先得认识带电粒子在单一场中的较为简单的理想运动过程。在这个基础上分析解决带电粒子在复合场中的运动问题。

带电粒子单一场中的理想运动主要有：1、带电粒子在匀强的磁场中做匀速圆周运动；2、带电粒子在重力场中做抛体运动（包括平抛运动）；3、带电粒子在匀強电场中做抛物线运动或变速直线运动；4、带电粒子在点电荷电场中做椭圆运动（包括圆周运动）和双曲线运动；还有其他一些理想的运动。例如带电粒子在某种电场中振动等，主要是上述四种。

根据上述的几种理想的运动，应用合成的思想方法，就可解决带电粒子在复合场中的运动问题。通常我们还是要抓住主要矛盾，尽可能用理想的运动过程代替实际的运动过程，解决问题，创造出应用价值。分下面几种情形讨论。

1.在电场和磁场不重叠的情况下，带电粒子经过一个场进入到另一个场，例如质谱仪。未知质量的带q电荷量的粒子首先在电压为U的电场中加速，再垂直于磁场方向进入匀强磁场（磁感应强度为B）做匀速圆周运动，测出粒子运动的半径为r，就可计算出粒子的质量m。根据带电粒子在电场中获得动能，在磁场中受洛伦兹力作用做匀速圆周运动可列方程组

解方程组可得

要使带电粒子在一个不很大的空间中产生很大的速度，创造一个能够反复加速粒子的电场和使其反复回旋的磁场，回旋加速器就是根据这个原理制成。

2.电场和磁场重叠，让电场和磁场同时作用于运动的带电粒子，使粒子做理想的运动，速度选择器就是典型的例子。

平行的P、Q两板间有正交的匀强电场和匀强磁场，电场方向由P板指向Q板，电场强度为E，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度为B。让带电粒子从左边平行于两板向右射入，如图1所示。其中速度为v的粒子直线通过电场和磁场。设粒子所带电荷量为q，它在电场和磁场中受到库仑力 和洛伦兹力 ，两个力大小相等，方向相反，粒子受平衡力作用做匀速直线运动，有 = ，即qE=qvB，得 ，只有这样速度的粒子可通过速度选择器。这是我们利用带电粒子在正交的电场和磁场中做理想的匀速直线运动而设计的装置。

有些场合只有匀强磁场，带电粒子源源不断垂直通过匀强磁场，这些粒子也会做匀速直线运动，磁流体发电机就是一例。

如图2所示，正、负离子垂直通过P、Q两板间的匀强磁场，正、负离子受洛伦兹力作用，正粒子偏向P板运动，负粒子偏向Q板运动，结果P、Q两板集聚了异种电荷，产生了匀强电场。当电场足够大时，后继的正、负离子受到的库仑力和洛仑兹力平衡，做匀速直线运动。根据这个原理可以确定磁流体发电机的电动势 。若磁感应强度为B，P、Q两板间距离为d，有 可得电势能 =Bdv。这也是利用理想的运动模型制作的新型电源。

3.很多时候我们需要创建一个电场与重力场平衡的场合。只要在重力场中加一个竖直方向的匀强电场，做到带电粒子受到的电场力等于重力，方向相反。密立根油滴实验就是用到了带电油滴受到的电场力等于重力来确定油滴所带的电荷量，从而发现了电荷量子化的规律。他设计的电场使油滴处于失重的空间就是一个理想的模型，并用到了油滴处于平衡状态的理想过程。

较复杂的带电粒子运动问题常可用这样的方法分析解决。例如空间有一个静止的带正电粒子，它的下方有一个正交的匀强电场和匀强磁场，方向如图3所示，电场方向竖直向上，磁场方向水平。带电粒子在重力作用下自由落下，进入正交的电场和磁场，若所受的电场力恰好等于重力，粒子所受的合力等于磁场对它的洛伦兹力，粒子做匀速圆周运动，半个圆周后离开磁场做竖直上抛运动。到达原来的高度后再落下，以后做周期性的运动，其轨迹如图3所示。

还有一种理想模型是空间同时存在三个场：重力场、电场和磁场。如图4所示，若带电粒子以某一速度运动，其所受的重力、电场力和洛伦兹力恰好平衡，它将做匀速直线运动通过这个场区。实际情况是带电粒子一般总是受重力、电场力和洛伦兹力作用，即三个场同时存在，只是其中某一场或两个场的作用较小，可以忽略，于是就出现了只研究两个场或一个场作用的特殊情况。

4.研究微观粒子，点电荷和点电荷电场的理想模型，以及点电荷的理想运动过程起到特殊的作用。例如氢原子的结构，氢原子核（带正电的点电荷）产生电场。电子（带负电的点电荷）在电场作用下绕核做椭圆运动或匀速圆周运动。玻尔在此模型的基础上加上定态跃迁和电子轨道量子化的假设，得出了玻尔的氢原子模型，这也是一种理想模型。

著名的 粒子散射实验从测量向各个方向散射的 粒子多少的比例否定了汤姆生原子模型。卢瑟福按照金原子核产生正点电荷的电场， 粒子（正点电荷）受金核电场的斥力作用做双曲线运动计算向各个方向的 粒子多少比例与实验的结果符合得非常好，从而确定了原子的核式结构。可见理想模型和理想过程在探索物理规律中的重要性。

认识事物要用理想模型，分析解决问题也要用理想模型。理想模型的思想方法对于我们认识世界，改造世界具有重要的意义。

参考文献：

【1】楼世洲 《物理学的思想和方法导论》。北京华龄出版社，2002年。endprint