权力指数的MATLAB求解探讨

陶晓静+杨雄

摘 要：在高职数学建模的教学中，会遇到一些博弈问题，稍简单的问题尚可用理论推断，手动计算，一旦数据量增加，就对MATLAB等软件的使用提出了更高的要求。文章从一个经典的博弈问题出发，探讨了MATLAB循环语句的使用实践，对数学建模教学起到了良好的促进作用，也增强了高职学生学习数学软件的兴趣与信心。通过软件处理含有复杂数据的数学问题，实现了从课堂走向实践的可能。

我们知道博弈论对现代社会的深远影响，并且了解它在现代数学中的重要地位。它是连接数学与现代社会的纽带与桥梁。而其中权力指数是我们常见的博弈论问题，也十分重要。在实际研究中人们不但要进行定性分析，也要对相关问题进行定量分析，而大量的数据阻碍了很多人对大数据问题的研究。MATLAB在教学过程中打开了一种新的局面，培养了学生处理数据的能力。

本文从权力指数这个问题入手，通过一个例题展示数学建模课程中使用MATLAB软件的一些技巧与心得。

一、博弈问题的描述

1.博弈论概述

博弈论也称为对策论（Game Theory），是现代数学的一个重要分支，属于运筹学的一部分。博弈论研究公式化的激励结构之间的相互作用，是研究斗争或竞争性现象的数学理论与方法。可考虑个体的预测行为和实际表现，进一步研究个体的改进策略，为个体决策提供理论依据与量化指标。

2.权力指数的概念

公司在做出决策的时候，需按股权分量进行表决。在通常情况下，大股东的意志对决策有着巨大影响。具体来说，设一共有n个股东，C1，C2，…Cn，股权分量不一，某决议的通过表决时有以下几种可能。

（1）若C1離场，C2，C3…Cn能否直接做出决定？

（2）若C2离场，C1，C3…Cn能否直接做出决定？

（3）同理，若 Ci，i>2，离场，情况会怎样？

否定其他股东预决议的能力称为他的权力指数。

二、权力指数在投票表决中的应用

表决时，为了体现己方的表决意志，必须获得足够多的票数。通过权力指数，我们可以方便地了解某人在表决过程中的重要程度，并由此做出相应的决策。

案例1 某公司有A、B、C、D、E五个股东，决策原则遵循“一股一票”。他们的股份分别为：A拥有36股，B拥有16股，C拥有16股，D拥有16股，E拥有16股。

若A暂时离场，由B、C、D、E对于某项决议进行初步的表决，我们称之为预决策。预决策时，共有24=16种情形。

解：%ABCDEF的权力指数计算语句

a=input（'please input a'）；

b=input（'please input b'）；

c=input（'please input c'）；

d=input（'please input d'）；

e=input（'please input e'）；

f=input（'please input f'）；

A=a+b+c+d+e+f；%计算票数的和

k=0；

%如果要计算其他人的权力指数只需在这里将a与其他变量进行一个交换。

%其交换语句如交换a与b，以计算b的权力指数为：a=m；a=b；b=m；

forC2=0∶1

for C3=0∶1

for C4=0∶1

for C5=0∶1

for C6=0∶1

sum=C2*b+C3*c+C4*d+C5*e+C6*f；

if sum>b+c+d+e+f-sum

if sum

k=k+1； end

elseif sum+a>b+c+d+e+f-sum

k=k+1；

end end end end end end

fprintf（'quanlizhishuwei %6.2f'，k）

输入36 16 16 16 16，得a 的权力指数为14，如此进行替换后，可计算得b、c、d、e权力指数都为2。

案例2 议员名额的分配

某国家有人口数量不等的六个地区。国家议员人数按地区分配如表1所示：

议员的总人数是31。虽然地区a地区、b地区、c议员都不足以单独左右议会决议，但这三个地区中任何两个地区的票数之和都已经超过了议会的半数。有人动议将议员人数变更为12、10、8、3、3、2，请分析权力指数与比重的变化以及为各个地区给出决策。对上例程序稍微修改就能得到如下解：

解：a=input（‘please input a）；

A=a（1）+a（2）+a（3）+a（4）+a（5）+a（6）；

k=0；M=[0 0 0 0 0 0]；n=1；

for C2=0∶1

for C3=0∶1

for C4=0∶1

for C5=0∶1

for C6=0∶1

sum= C2*a（2）+ C3*a（3）+ C4*a（4）+ C5*a（5）+ C6*a（6）；

if sum>a（2）+a（3）+a（4）

+a（5）+a（6）-sum

if sum

k=k+1； end

elseif sum+a（1）>a（2）+a（3）+a（4）+a（5）+a（6）-sum

k=k+1；

end