浅谈导数及其应用

陈晨

【摘 要】导数的概念及其运算是高考的必考内容，导数的运算一般不单独考查，而是渗透在其他题目中，导数的几何意义往往与解析几何结合考查；导数的应用主要考查用导数研究函数的单调性、极值、最值、实际问题中的优化问题等，往往与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等相关知识综合考查，涉及的思想主要有：函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想以及化归与转化思想等。

【关键词】导数的运算；导数的几何意义；导数的应用及思想方法

一、考纲解读

在导数的概念及其运算中能够了解导数概念的实际背景，理解导数的几何意义，会求过曲线上某点的切线的斜率与切线方程，能将平行或垂直直线间的关系转化为导数关系；熟记常见基本初等函数的导数公式并结合导数的运算法则求简单函数的导数，会求简单复合函数（仅限于形如f（ax+b）的复合函数）的导数；利用导数的几何意义求曲线的切线斜率是高考热点。

导数的应用中能够了解函数单调性与导数的关系，会利用导数研究函数的单调性，掌握求函数单调区间的方法；了解函数在某点取得极值的必要条件与充分条件，掌握求函数极值与最值的方法，会利用导数求函数极值与最值及解决利润最大、用料最省、效率最高等实际生产、生活中的优化问题；利用导数求函数极值与最值、结合单调性与最值求参数范围、证明不等式是高考热点（其中多项式函数一般不超过三次）。

二、解题方法与技巧

1.导数的运算

熟记基本初等函数的导数公式及四则运算法则，掌握导数运算的原则即：先化简求解析式，再求导。掌握导数的运算方法：①连乘形式：先展开化为多项式的形式，再求导；②分式形式：观察多项式的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；③对数形式：先化为和、差的形式，再求导；④根式形式：先化为分數指数幂的形式，再求导；⑤三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；⑥复合函数：由外向内，层层求导。

2.导数几何意义的应用

本题主要考查导数的运算以及导数的应用，函数的单调性，函数的零点等知识，意在考查学生的运算求解能力，分析问题与解决问题的能力。

导数的题综合性较强，求解导数有关题的前提是掌握导数的基本知识：导数的计算、导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性及极值和最值等，学会综合应用函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想以及化归与转化思想，灵活运用其它知识解决问题。endprint