MHD方程的高效数值方法研究

李雪　张海军

摘 要 针对磁流体方程，构造一种高分辨率熵稳定格式。新格式通过在通量函数中嵌入限制器并在单元交界面处进行WENO重构以达到高分辨率的效果。算例结果表明，格式具有可靠性、无振荡等特性。

关键词 磁流体方程 CWENO重构 熵稳定 高分辨率

中图分类号：V211.3 文献标识码：A

0 引言

磁流体力学（Magnetohydrodynamics，简记为 MHD）是用经典流体力学和电动力学的方法研究导电流体和电磁场相互作用的学科，通常指磁流体动力学。导电流体在电磁场里运动时，会产生电流，该电流与磁场相互作用，產生洛伦兹力，不仅改变流体的运动，而且改变电磁场。研究该类问题时，既要考虑其力学效应，又要考虑其电磁效应。MHD方程是非线性偏微分方程组，它的基本方程由流体力学中的Navier-Stokes方程（包括质量守恒方程、动量守恒方程和能量守恒方程）和电磁学中的Maxwell方程耦合而成。

MHD方程组包含的方程个数多且具有非线性，一般情况下其解析解很难得到，只能数值求解，因此磁流体力学方程的高效数值方法研究是十分重要和非常必要的。本文主要研究求解MHD方程的高分辨率、无振荡的高效数值方法。

为了简单起见，在（x，t）平面内采用均匀网格，守恒型半离散格式的一般表达式为：

dqj（t）/dt=-dx（fj+1/2fj-1/2） （1）

1 高分辨熵稳定格式

Winters等基于Euler方程熵守恒通量的构造方法，得到MHD方程的熵守恒通量f C，

本文在此基础上嵌入S-M限制器Q，构造了一种MHD方程的高分辨率熵稳定数值通量：

fESL=fc0.5RA（IQ）SRT[[V]] （3）

其中，R为MHD方程通量函数f（q）的Jacobi矩阵的右特征向量矩阵，A为特征值矩阵，S为对角放缩比例矩阵。

2 WENO重构

为了进一步改进熵稳定格式，我们引入近年发展起来的加权本质无振荡方法（WENO： Weighted Essentially Non-Oscillatory）。WENO方法通过构造基于不同模板的插值多项式的加权凸组合来获得单元交界面处的高阶近似。凸组合中的权重是一些所谓光滑因子的非线性函数，这些光滑因子可以度量模板的光滑性。如果解是光滑的，光滑因子的量级大致相同，使得各权重接近于理想的凸组合系数，从而在光滑区域WENO 格式可达到尽可能高的精度。若解在某个模板范围内出现间断，该模板相应的权重会自动退化为零。WENO 格式只选择相对光滑的模板来构造插值多项式，避免伪振荡的产生。本文采用五阶精度的 WENO方法来获得单元交界面处的近似qi+1/2L，qi+1/2R，分别替代原来的qi和qi+1，由此得到的格式称为W-ESL格式，具体的数值通量为

fE-ESL=f C（qi+1/2L，qi+1/2R）0.5RA（IQ）SRT（Vi+1/2L，Vi+1/2R） （4）

3 数值算例

本节讨论Brio and Wu高马赫数激波管问题，Brio和Wu将该激波管问题用来考核数值格式在解决高马赫数问题时的稳定性。其初始条件为

计算区域[-1， 1]，终止时间T=0.012。采用W-ESL格式进行计算，计算结果示于下图（其中的Ref代表参考解，由取5000个网格点的CWENO格式求得）：

4 结论

通过对数值算例的结果进行分析，可以看出嵌入限制器并采用单元交界面处的WENO重构所得到的高分辨率熵稳定格式可以成功运用到MHD方程的数值求解当中，并获得很好的计算结果，具有高分辨率、无振荡等特性。

参考文献

[1] Winters A R， Gassner G J. Affordable， entropy conserving and entropy stable flux functions for the ideal MHD equations [J].J Comput Phys，2016，304（1）：72-108.

[2] 任炯，封建湖，刘友琼，梁楠.求解双曲守恒律方程的高分辨率熵相容格式[J].计算物理，2014，32（5）：539-551.

[3] Qiu J， Shu C W. On the construction， comparison， and local characteristic decomposition for high-order central WENO schemes[J].J Comput Phys，2002，183：187-209 .endprint