常用湍流模式及其优缺点

(扬州大学 江苏 扬州 225000)

常用湍流模式及其优缺点

陈伟

(扬州大学江苏扬州225000)

从工程实际应用的角度介绍和总结了以往工程中常用的一些湍流模式，并分析这些模式对应的优缺点及适用范围。

湍流；湍流模式；模型

一、湍流的数值模拟方法

目前的湍流数值模拟方法可以分为直接数值模拟方法和非直接数值模拟方法。前者是指直接求解瞬时湍流控制方程，而后者是不直接计算湍流的脉动特征，而是对湍流作某种程度的近似和简化处理。非直接数值模拟方法分为大涡模拟、统计平均法和Reynolds平均法。

二、大涡模拟法

为了模拟湍流运动，一方面要求计算区域的尺寸应大到足以包含湍流运动中出现的最大涡，另一方面要求计算网格的尺寸应小到足以分辨最小涡的运动。随着计算机的发展，计算速度和计算容量得到大幅提高，现已有一些研究机构对Navier-stokes方程不做模型化或者简化，利用高性能的计算机划分极密的网格直接求解Navier-stokes方程，也即直接数值模拟(DNS-Directly Numerical Simulation)。然目前普通研究人员尚无法实现DNS，故只将大于网格尺度的湍流运动通过Navier-stokes方程直接计算出来，而小尺度的湍流运动对大尺度湍流运动的影响则利用次网格尺度模型来模拟，也即介于DNS和雷诺时均方法之间的大涡模拟法(LES-Large eddy simulaton)。

三、Reynolds 平均法

从工程应用的观点上看，重要的是湍流所引起的平均流场的变化这种整体的效果。所以在求解Navier-stokes方程时不用求解方程的全部细节，只要求解时均化的Navier-stokes方程，并将瞬态的脉动量在时均化的方程中体现出来，也即Reynolds平均法。

(一)Reynolds应力模型。在Reynolds应力模型方法中，直接构建表示Reynolds应力的方程，然后联立求解。通常情况下，将Reynolds应力方程是微分形式的方程称为Reynolds应力方程模型，将Reynolds应力方程的微分形式简化为代数方程的形式，则称为代数应力方程模型。

(二)Reynolds 应力方程模型。Reynolds应力方程模型(RSM-Reynolds Stress equation Model)的使用必须先得到Reynolds应力输运方程。

RSM属于高RE数的湍流计算模型，在固体壁面附近由于受到分子粘性的作用，湍流脉动收到阻尼，RE数很小，上述方法不再适用。因而必须采用壁面函数法或者低RE数的RSM法来处理近壁面区的流动计算问题。

由上述方法建立的对压力应变项等的计算公式，经计算实践表明，RSM虽然能考虑一些各向异性效应，但效果未必比其他的模型效果好，在计算突扩流动分离区和计算湍流输运各向异性较强的流动时，RSM优于双方程模型，但对于一般的回流流动，RSM的结果并不一定比k-ε模型好。另一方面，就三维问题而言，采用RSM法意味着要多求解6个Reynolds应力的微分方程，计算量更大，故RSM不如k-ε模型应用更广泛。

(三)代数应力方程模型。由于RSM过于复杂且计算量大，从而衍生了一种用不包含微商的表达式来代替RSM中包含Reynolds应力微商的项，也即代数应力方程模型(ASM-Algebraic Stress equation Model)。

在对RSM中的Reynolds应力方程进行简化时，重点集中在对流项和扩散项的处理上。一种简化方案是采用局部平衡假定，即Reynolds应力的对流项和扩散项之差为零；另一种简化方案是假定Reynolds应力的对流项和扩散项之差正比于团动能k的对流项和扩散项之差。

ASM是将各向异性的映像合并到Reynolds应力中进行计算的一种经济算法，但因其要比k-ε模型多解6个代数方程组，其计算量还是远大于k-ε模型。

ASM虽然不像k-ε模型应用广泛，但可用于k-ε不能满足要求的场合以及不同的传输假定对计算精度影响不是十分明显的场合。例如：对于像方形管道和三角形管道内的扭曲和二次流的模拟，由于流动特征是由Reynolds正应力的各向异性造成的，因此使用标准k-ε模型得不到理想结果，而使用ASM就非常有效。

(四)涡粘模型。在涡粘模型方法中，不直接处理Reynolds应力项，而是引入湍动粘度，或称涡粘系数，然后把湍流应力表示成湍动粘度的函数，整个计算的关键在于确定这种湍动粘度。

Boussinesq涡粘假定建立了Reynolds应力相对于平均速度梯度的关系；故计算湍流流动的关键在于确定μt。涡粘模型就是把μt与湍流时均参数联系起来的关系式。一局确定μt的微分方程数目的多少，涡粘模型包括：零方程模型、一方程模型和两方程模型。

(五)零方程模型。零方程模型是指不实用微分方程，而是用代数关系式把湍动粘度与时均值联系起来的模型。它只用湍流的时均连续方程和Reynolds方程组成方程组，把方程组中的Reynolds应力用平均速度场的局部速度梯度表示。

混合长度理论的优点是直观简单，对于射流、混合层、扰动和边界层等带有薄的剪切层的流动比较有效，但只有在简单的流动中才比较容易给定混合长度lm，对复杂流动则很难确定lm，而且不能用于模拟带有分离及回流的流动。

(六)一方程模型。在零方程模型中，湍动粘度μt和混合长度lm都把Reynolds应力和当地平均速度梯度相联系，从而达到一种局部平衡，但是忽略了对流和扩散的映像。为了拟补混合长度家丁的局限性，在湍流的时均连续方程和Reynolds方程的基础上，在建立一个湍动能k的输运方程，而μt表示成k的函数，从而可使方程组封闭。

一方程模型考虑到湍动的对流输运和扩散输运，因而比零方程模型更为合理。但是一方程模型中如何确定长度比尺l仍是不易解决的问题。

(七)两方程模型。在一方程模型的基础上，再引入一个关于湍流耗散率ε的方程后形成了k-ε两方程模型，称为标准k-ε模型是。

k-ε模型具有以下特点：(1)通过求偏微分方程考虑湍流物理量的输运过程，即通过求解偏微分方程确定脉动特征速度与平均场速度梯度的关系，而不是直接将两者联系起来；(2)特征长度不是由经验确定，而是以耗散尺度作为特征长度，并由求解相应的偏微分方程得到；(3)计算所需内存较少，计算稳定。

它也有如下缺点：(1)该模式中因假定Reynolds应力与当地的平均切变率成正比，故不能准确反映Reynolds应力沿流向的历史效应；但是由于脉动特征速度和特征长度使用过解相应的微分方程得到，因而k-ε模型在一定程度上又考虑了流场中各点的湍能传递和流动的历史作用；(2)该模式是各项同性模式，横道断面上由Reynolds应力场的各向异性所生成的二次流不能用其来模拟；(3)Reynolds应力生成项对即使很小的纵向曲率都十分敏感，而标准k-ε模型对附加应变不存在放大作用，因此对此类流动的模拟不适用；(4)一般而言，流动越复杂，标准k-ε模型模拟出的Reynolds应力精度也相应越低。

[1]王福军，计算流体动力学分析，清华大学出版.

[2]刘士和等，工程湍流，科学出版社，2011.1.

[3]梁在潮等，工程湍流，华中理工大学出版社，1999.4.

[4]王玲玲，大涡模拟理论及其应用综述，1000-1980(2004)03-0261-05.

陈伟(1993-)，男，汉族，安徽六安，研究生在读，扬州大学，河流动力学。