基于实时重构的自由曲面自适应布点方法

刘红军 叶文静 纪 俐

沈阳航空航天大学机械工程学院,沈阳,110136

基于实时重构的自由曲面自适应布点方法

刘红军 叶文静 纪 俐

沈阳航空航天大学机械工程学院,沈阳,110136

针对现有的自适应算法计算量庞大、在工程中可应用性不强的缺陷，提出在等距法布点的基础上，对测量点进行实时重构来指导三坐标测量机根据曲面本身特性自动增加测量点的方法。测量过程中，当通过拟合五次B样条曲线、三次B样条曲面判断现有测量点不满足精度时，利用两侧测量点的曲率半径，计算出需增加测量点的准确位置，重新拟合包含新检测点的检测样本，直到满足精度要求。以曲面样件为例，辅以计算机图形可视化验证该算法，实验结果表明该方法测量精度及重构精度均可满足数字化检测要求，且在工程应用中相比曲率自适应算法其计算量大幅下降，有效提高了曲面检测效率。

三坐标测量机；自由曲面；布点方法；实时重构

0 引言

自由曲面的评估主要包括实物样件的数据获取、曲面重构、精度评价等几个过程，其中测量点的质量直接影响后续模型重构及精度评价，在测量过程中数据点的增加或减少会导致曲面重构的复杂化或拟合出的模型不准确。

为实现采样点的完美分布，许多学者对曲面测量方法作过研究，应用最广泛的方法为等间距法[1]，该方法原理简单、计算方便，对于圆柱面、球面等能够较好地满足测量要求，但由于未考虑曲面特征的复杂性，对于曲率变化较大的曲面，等间距法往往不能满足精度要求。针对此，有学者提出了曲率自适应布点策略，如文献[2]研究了模具型面检测点随曲率变化的布点方法；文献[3]以曲率为基础，定义曲率测度函数，并以其为密度计算样条质量，提出了一种基于均分样条质量的自由曲线采样方法；文献[4]提出了曲率连续自适应法测量自由曲面；文献[5]将自由曲面的曲率函数作为生成质心Voronoi结构中的密度函数，并以成本函数收敛性作为算法结束的准则，提出了基于质心Voronoi结构的全新检测点采样方法。以上文献虽然考虑了采点过程中自由曲面的曲率自适应问题，但从测量方法误差的角度而言，过高的曲率自适应度反而会降低分段点的利用率，因此文献[6]针对此问题提出了自适应度可控方法，提出了一类曲率自适应度可控的布点新策略——等矩法布点策略。文献[2-4]基于曲率自适应的布点算法虽然考虑了曲面的曲率特性，但在实际工程应用中，预测点的计算非常复杂，工程中应用量很少[6]，相反基于等间距法的采点策略因其简单高效，在实际工程中应用最广泛，只是缺少对曲面特征复杂性的考虑。为避免此缺陷，本文在等距布点基础上，提出采用实时重构的自由曲面自适应布点方法。

1 实时曲面重构的采点策略

在等间距法布点策略的基础上，本文利用对现有测量点的实时重构指导三坐标测量机根据自由曲面本身的特性进行自适应增加采样点与测量次数，直至增加采样点后的拟合曲面达到误差要求，从而有效避免盲目增加检测点造成检测效率低和过少检测点形成的准确度降低问题。为保证自由曲面的拟合精度、误差要求与公差范围同等级要求，拟合误差规定为实际检测点与对应拟合曲线上拟合点的法向距离。实时重构包含扫描线的重构与自由曲面的重构，自由曲面的重构为重构后的扫描线沿扫描线方向进行拟合，扫描线的实时重构布点策略包含初始自由曲面检测点数量的确定和检测点重构成曲面的理论计算。

1.1自由曲面总体测量点规划

曲面检测之前，需要确定采样点的数量以及测量点在检测面上的分布，原则上测量点数在满足精度的前提下应尽可能地少，但检测点数量的多少受到多种因素的影响，例如：检测面的尺寸、工件的公差范围、加工条件等，因此确定自由曲面的测量点数是非常困难的。MENQ[7]考虑到工件的精度实现与产品的设计、制造过程影响因素有关，将影响检测样本大小的因素概括为两个：一个是设计过程中，根据工件的承担功能所规定的公差范围T，另一个是加工过程中，由于加工设备的精度问题而造成工件偏离理想尺寸部分所构成的加工误差σ。由此，根据加工制造工艺能力P=6σ和公差范围T，应用统计学分析方法确定曲面的测量点数目，其中加工误差服从正态分布ε=N(0,σ2)或ε=σZ，Z服从标准正态分布，由此测量点的数目确定为

(1)

式(1)的准确性在于，确定检测样本密度的大小不取决于公差范围与加工误差，而是取决于K，随着K值的增大(K>1，此时加工制造工艺能力勉强，不会出现不合格品)，检测点数不断减少，即控制加工误差不变，增大公差范围或降低加工误差时，检测点数目减少，相反，当K值减小时，检测点数增加[8]，符合数字化检测过程中对检测点的要求，因此此方法得到了广泛的应用[9-10]。自由曲面的布点数目确定后，需对测量点的位置进行确定，自由曲面的构成，可以看作是u方向上的扫描线按照v扫描线方向扫描得到，u、v的交点为曲面的控制顶点，由此可将“曲面—曲线—点集—测点集”的分解顺序看作是自由曲面数字化测量过程中确定检测点的基本思想，自由曲面的布点问题由此转换为自由曲线的布点问题。通过式(1)确定曲面的总测量点数后，将(m+1)×(n+1)个测量点根据等间距法(点与点间的u、v方向间距相等)均匀分布在自由曲面上，m、n的确定方法可写成

(2)

其中，m+1为扫描线条数，每条扫描线上有n+1个检测点，d0为点与点之间的距离，du、dv分别为自由曲面沿质心法向方向投影得到的最大内接矩形的长与宽，由此可确定检测点间距离、扫描线条数与每条扫描线上的检测点数。布点结果如图1所示。

图1 自由曲面等距法布点Fig.1 Equidistant points method of free-form surfaces

1.2实时重构的布点策略

在等距法布点的基础上，如何根据自由曲面的本身特征属性确定添加检测点的数量与位置是实现自由曲面准确测量的重要因素，考虑到五次B样条曲线五阶可导，曲线上任意一点的曲率二阶可导，且导数是二阶连续的，适用于拟合大多数工程样件表面的扫描线，所以采用五次B样条曲线拟合算法对曲线进行拟合,判断现有的检测点精度是否满足，并用来寻找不满足误差的具体位置。首先驱动三坐标测量机在第一个检测点的初始扫描线反方向间隔1 mm选取5个辅助测量点Qi-5、Qi-4、Qi-3、Qi-2、Qi-1，与第一个检测点Qi共同拟合出起始曲线L1，写成如下形式：

(3)

其中，t为参数[11]，t∈[0,1]，B5，i表示五次贝塞尔曲线。以i为参数，曲线分解到y、z方向可以写成

y=λ(t)z=μ(t)

(4)

该曲线上每个点的曲率通式可以写成

(5)

由t=1获得曲线末端Qi曲率半径，即

(6)

随后将检测点Qi、Qi+1与辅助检测点Qi-4、Qi-3、Qi-2、Qi-1拟合成曲线L2，依此类推，逐渐增加检测点并与同一扫描线上的反向五个检测点进行拟合，当曲线Lj-1满足误差要求而Lj的误差超过极限时，证明检测点Qj-1与Qj间由于缺少若干检测点而导致拟合曲线超出误差范围。在点Qj-1与点Qj之间添加测量点Qja，Qja的确定方法如下：曲线上点Qj-1与点Qj的曲率半径分别为ρj-1和ρj，即

(7)

Qj-1与Qj之间的距离为l，则Qja到Qj-1与Qj的距离分别为

(8)

新增检测点Qja的创建充分考虑了自由曲面的本身特性，根据相邻两检测点的曲率半径大小，当某一相邻检测点曲率半径较大时，说明经过此处的曲线较缓，所以新增检测点距离大曲率半径临界点要比距离小曲率半径的临界点远，即新增的检测点远离曲率半径大的点，接近曲率半径小的点，这符合曲率自适应原理，但相比曲率自适应方法，本文方法在很大程度上简化了新增检测点的计算方法，为自由曲面的整体检测提高了效率。原检测点与新增检测点构成了新的自由曲面检测点集，当新检测点仍不满足误差要求时，继续对新检测点依照式(8)增加检测点直至符合误差要求。

2 自由曲面拟合原理

(9)

其中，B样条基函数Ui(u)与Vj(v)分别由节点矢量u和v按照德布尔-考克斯递推公式确定。当自由曲面的拟合误差超过误差极限时，在超过极限误差位置寻找最近的两个检测点，以此两检测点应用式(7)和式(8)确定新增检测点的位置，重复使用此方法直至最大误差满足要求。自由曲面的实时重构、误差评价、自适应布点、测量具体流程如图2所示。

图2 自由曲面动态测量流程Fig.2 Free-form surfaces dynamic inspection process

3 实验验证

为检验基于实时曲面重构的自适应布点算法的准确性，以图3带有自由曲面的样件为检测对象进行实际验证。

图3 检测样件Fig.3 Inspection sample

待检测自由曲面的质心法向投影尺寸为70 mm×70 mm，机床的加工误差σ=0.01 mm，自由曲面的面轮廓度公差范围T=0.046 mm，根据式(1)、式(2)计算得到自由曲面总体点数与检测点间间隔分别为N=81、d0=7 mm，按照图1布置检测点，扫描线间间距为7 mm，扫描线上检测点间的间距为7 mm，与原模型的最大拟合误差极限设置为e=0.01。按照布置检测点位置驱动三坐标测量机进行样件的检测。

利用五阶B 样条曲线对其中一条扫描线上的等距检测点进行拟合，当拟合Pj-1检测点时误差符合精度要求，而拟合Pj检测点时误差超出精度要求，如图4所示。在等间距法布点中的第三个检测点与第四个检测点之间出现0.020 93 mm的误差，超过最大拟合误差要求。

图4 等间距法布点曲线误差Fig.4 Curve error of equidistant points method

利用式(7)、式(8)计算出新增检测点的位置，经两次添加检测点，拟合后的曲线满足误差要求，如图5所示。

图5 增加测量点后误差Fig.5 Curve errorafter adding inspection points

利用五阶B样条曲线对u方向的扫描曲线进行拟合，满足误差要求后，沿扫描方向v进行三次B样条曲面拟合，等间距法布点的曲面拟合误差模型如图6所示。

图6 等间距法布点曲面误差Fig.6 Surfaces error of equidistant points method

等间距法布点拟合后自由曲面与原模型的最大误差为0.4976 mm，超过最大误差极限，在超过极限误差位置寻找两个最近的检测点，利用式(7)、式(8)添加新的检测点，循环利用此方法添加检测点直至符合拟合误差要求，即以满足最大极限误差为算法结束的控制条件，满足误差后的检测点集如图7所示。

图7 实时重构布点策略结果Fig.7 Results of real-time reconstruction points method

增加检测点后的自由曲面检测点集为168个，拟合结果如图8所示，最大误差为2.152×10-5mm，很好地符合了自由曲面的拟合误差要求。

图8 实时重构法布点曲面误差Fig.8 Surfaces error of real-time reconstruction points method

由基于实时重构的自由曲面拟合算法可得出结论：等间距法布点拟合的曲线在曲率变化大的位置出现误差最大值，利用误差处临界点曲率半径对新增检测点的位置进行确定。实例结果表明，此种方法新增的检测点位置合理，不仅计算简便、测点合理、执行高效，而且通过此方法增加检测点后拟合的曲面，精度至少可提升三个数量级。

4 结论

提出了数字化测量环境中自由曲面的布点策略，实现了根据自由曲面本身的特性确定检测点的数量与位置，在等距法布点的基础上，采用自由曲面实时重构的方法评价五阶B样条曲线、三阶B样条曲面误差，在出现误差的位置增加合理的测量点，实例证明了此方法确定的检测点合理可行，相比现有的自由曲面曲率自适应布点方法，本文方法降低了检测点的计算量，工程上可使用性强，经拟合确定的测量点重构精度可达到μm级，满足工程上对自由曲面的测量要求。

[1] RAJAMOHAN G，SHUNMUGAM M S，SAMUEL G L. Effect of Probe Size and Measurement Strategies on Assessment of Freeform Profile Deviations Using Coordinate Measuring Machine[J]. Measurement，2011，44(5)：832-841.

[2] KOSTER M. Curvature-dependent Parameterization of Curves and Surface[J]. Computer-Aided Design，1991，23(8)：569-579.

[3] 何改云，贾红洋. 基于CAD模型的自由曲面自适应采样策略[J]. 电子测量与仪器学报，2012，26(10)：835-840. HE Gaiyun, JIA Hongyang. Adaptive Sampling Strategy for Free-form Surface Based on CAD Model[J].Journal of Electronic Measurement and Instrument,2012,26(10):835-840.

[4] 何雪明，李成刚，胡于进,等. 三坐标测量机测量路径的曲率连续自适应规划[J]. 清华大学学报(自然科学版)，2007,47(增刊2):1835-1839. HE Xueming, LI Chenggang,HU Yujin, et al. Continuous Curvature Adaptive Planning of the Measuring Path for CMM[J].J. Tsinghua University(Sci. & Tech.),2007,47(S2):1835-1839.

[5] 宋占杰，张美，何改云,等. 基于质心Voronoi结构的自由曲面布点策略[J]. 吉林大学学报(工学版)，2013,43(1):34-38. SONG Zhanjie,ZHANG Mei,HE Gaiyun, et al. Sculptured Surface Point Distribution Strategy Based on Centroidal Voronoi Tesssellation[J].Journal of Jilin University(Engineering and Technology Edition), 2013,43(1):34-38.

[6] 何改云，季彩霞，郭龙真,等.基于等矩策略的自由曲面测量方法误差分析[J]. 天津大学学报(自然科学与工程技术版)，2016,49(2):128-133. HE Gaiyun, JI Caixia, GUO Longzhen, et al. Analysis of Measurement Method Error in Freeform Surface Based on Equal Moment Strategy[J]. Journal of Tianjin University(Science and Technology), 2016,49(2):128-133.

[7] MENQ C H. Automated Precise Measurement of Surface Profile in CAD-Directed Inspection[J]. IEEE Transactions on Robotics and Automation,1992,8(2):268-278.

[8] 张松. 复杂曲面布点策略与误差评定方法研究[D].天津：天津大学，2010. ZHANG Song. The Research of Sculpture Surface Point Distribution Strategy and Error Evaluation[D].Tianjin:Tianjin University,2010.

[9] 高国军. 用CMM检测自由曲面时检测点和路径的规划方法研究[J]. 西安交通大学学报， 1996，30(7),57-63. GAO Guojun.Testing Point and Path Planning Method Research in CMM Testing Free-form Surface[J].Journal of Xi’an Jiaotong University,1996,30(7),57-63.

[10] 卢允娥. 反求工程中复杂曲面坐标测量的建模与仿真[D]. 兰州：兰州理工大学，2008. LU Yun’e.The Modeling and Simulation for Coordinate Measuring of Complex Surface in Reverse Engineering[D].Lanzhou:Lanzhou University of Technology,2008.

[11] 施法中. 计算机辅助几何设计与非均匀有理B样条[M]. 北京：高等教育出版社，2001. SHI Fazhong.Computer Aided Geometric Design and Non-uniform Rational B Spline[M]. Beijing: Higher Education Press,2001.

[12] 陈岳坪，高健，邓海洋，等.复杂零件在线检测与误差补偿方法[J]. 机械工程学报,2012,48(23):143-151. CHEN Yueping, GAO Jian, DENG Haiyang, et al. On-line Inspection and Machining Error Compensation for Complex Surfaces[J].Journal of Mechanical Engineering, 2012,48(23):143-151.

(编辑王艳丽)

AdaptiveDistributionofInspectionPointsforFree-formCurved
SurfacesBasedonReal-timeReconstruction

LIU Hongjun YE Wenjing JI Li

School of Mechanical and Electronic, Shenyang Aerospace University, Shenyang, 110136

Based on the drawbacks of large calculations and poor applicabilities of existing adaptive algorithms, a real-time reconstruction method of inspection points was proposed to guide the coordinate measuring machine to increase points automatically according to the characteristics of surfaces. In inspection processes, existing inspection points were judged not to satisfy the precision by B-spline lines and surfaces, both sides curvature radius of two inspection points were used to calucate the extract locations of increased inspection points, and surfaces were refitted including new points until accord accuracy requirements. Surface part was taken as an example, supplemented by computer visual graphics to certify the algorithm. The results show that inspections with reconstruction may meet the requirements of accuracy, reduce the calculation amounts to a large extent than that by adaptive algorithm in engineering, and may improve efficiency of inspection surfaces effectively.

coordinate measuring machine; free-form curved surface; distribution inspection point; real-time reconstruction

2016-07-14

辽宁省自然科学基金资助项目(2013024017)

TP391

10.3969/j.issn.1004-132X.2017.17.012

刘红军，男，1971年生。沈阳航空航天大学机械工程学院副教授、博士。研究方向为数字化设计制造、数控技术。发表论文30余篇。叶文静，女，1990年生。沈阳航空航天大学机械工程学院硕士研究生。纪俐，男，1983年生。沈阳航空航天大学机械工程学院博士研究生。