非标准有限差分的乙肝病毒扩散模型的稳定性分析与数值模拟

纪恩怀+苏永美

【摘要】本文考慮到乙肝病毒在细胞之间的扩散特性，提出了一个改进的乙肝病毒扩散模型，并将模型转换为非标准有限差分的方程，求出了模型的平衡点，分析了该方程的全局稳定特性.最后给出了数值模拟，模拟结果显示了扩散在病毒传播中的作用.

【关键词】乙肝病毒；扩散；非标准有限差分法；全局稳定性

乙型肝炎（Hepatitis B）是一种肝细胞遭到病毒感染后导致的肝脏疾病，是目前危害人类健康的重要传染病之一，呈世界性分布，流行面广，在处置不恰当时可能会导致肝癌等多种疾病的发生[1，2].近年来，关于病毒感染的数学模型的研究越来越得到重视.一方面，关于病毒动力学的分析可以指导设计更有效的治疗方案以控制感染[3].另一方面，对数学模型的模拟结果也可以为病毒感染过程中出现的现象提供合理的解释.

1996年Nowak等[4]提出了宿主体内病毒感染基本模型.它被广泛用于研究病毒（如，HBV、HCV和HIV等）感染动力学.该模型的形式为

基于模型（1）和模型（2），许多动力学模型被建立起来用以描述乙肝病毒在人体中的感染过程.但这些模型大多将肝脏作为一个整体，只考虑到感染细胞、未感染细胞与病毒数的变化，未考虑到肝脏的空间特性，其实肝细胞之间也会相互扩散感染从而造成病毒感染情况的变化.

Hattaf在此之上建立了考虑发病率、免疫延迟的扩散综合模型：

但模型中只考虑了病毒的扩散，没有考虑到未感染细胞和感染细胞的扩散.

这些数据的变化也不是连续的，所以要更准确地描述HBV病毒的发病机理和免疫学原理，基于临床治疗数据，建立描述感染后HBV病毒、CD4+T细胞、免疫应答和药物治疗相互作用的动力学模型，离散的模型应该更符合实际.将已有的连续模型采用欧拉向前或向后差分的方法离散化也是一种建立离散模型的方法.

一、稳定性分析

二、结 论

本文引进了乙肝病毒感染过程中病毒与感染细胞扩散的模型，未病平衡点与已病平衡点在存在扩散的状态下依然可以保持全局渐进稳定的特性，通过非标准差分法可以数值模拟其扩散变化.通过观察扩散状况数值模拟，可以看到已病平衡点终将在感染细胞、未感染细胞与自由病毒的扩散与相互作用下达到感染范围内的平衡状态.

【参考文献】

[1]CIUPE S，RIBEIRO R，NELSON P，et al.Modeling hepatitis C virus dynamics：liver regeneration and critical drug efficacy[J].J.Theor.biol.，2007，247（2）：371-381.

[2]LEWINS，Walters T，LOCANINI S.Hepatitis B infection and HBV DNA-containing capsids：Modeling and analysis[J].Commun.Nonlinear Sci.Numer.Simul.，2015，22（2）：383-395.

[3]LEWIN S，WALTERS T，LOCANINI S.Hepatitis B treatment：rational combination chemotherapy based on viral kinetic and animal model studies [J].Antiviral Research，2002，55（3）：381-396.

[4]Nowak M A，BONHOEFFER S，HILL A M，et al.Viral dynamics in hepatitis B virus infection[J].Proc.Natl.Acad.Sci.USA，1996，93（9）：4398-4402.

[5]LEENHEER P D，SMITH H L.Virus dynamics：A global analysis [J].SIAM Journal on Applied Mathematics，2003，63（4）：1313-1327.endprint