关于陀螺运动原理的力学分析

◎ 文/孙林华

关于陀螺运动原理的力学分析

◎ 文/孙林华

陀螺会在绕支点做公转时会产生一个与公转方向垂直的力，力的方向与陀螺自转方向有关，所以当陀螺受到重力影响时不会朝重力方向倒下，而是产生一个波浪形前进的运动。物理学没有用力学的方法解释陀螺运动不会由于重力倒下的原因，本文将用力学的方法分析陀螺为什么不会倒下，并且解释发生进动和章动现象的原因。

如图1所示，一陀螺在三维坐标系中旋转，圆o代表陀螺旋转面，线段L是陀螺的转轴，abcdefgh是陀螺旋转面的8个点a点位置最高，c点位置最低，b与d是最左最右的点，线段ef平行于线段ac，线段gh平行于线段ac，陀螺以一角速度逆时针运动。

通常认为陀螺的自转会使陀螺有一个绕z轴的进动，而不会由于受重力影响有倒下的趋势，这里首先假设陀螺会倒下，并且在图中位置处已经有了一个倒下的角速度。由于受重力影响，角速度是在不断增大的，这里取一固定时刻的角速度w来讨论。为了方便计算，假设L轴位于xz平面内，那么陀螺在倒下的过程则会绕y轴做公转的圆周运动，这时来计算此刻abcd点的公转线速度，a点离y轴的距离为√L2+r2，c点也是√L2+r2，b点离y轴距离为L，d点离y轴距离也为L，则a与c的公转线速度为w√L2+r2，b与d的公转线速度为wL。可以得知，从a质点到b质点之间公转线速度一直在变小。在陀螺绕y轴做公转时，陀螺还在自转。自转会带动a质点转向b质点，a到b之间质点在角速度为w这一时刻都在做减速运动，质点做减速运动说明质点受到了阻力，产生了反向加速度。下面来讨论质点对于陀螺的作用力的方向与大小。

陀螺每个质点的运动都是由多个速度合成的，包括绕支点的公转，绕圆心o的自转，由于自转不会影响陀螺的运动，所以这里将速度分解，只讨论质点公转速度的变化，公转速度大小变化由两个原因产生，第一因为自转导致的公转速度的变化，第二受重力导致的公转速度的增加，质点加速度a=(wR-(w+∆w)r)/∆t ,R为角速度为w时的公转半径，r为变化后的公转半径。将等式分解a= (w(R-r))/∆t-∆wr/∆t，∆t无限趋近0，等式变为a=wv-a1 ，v为角速度为w时半径的变化速度，a1为此时由于重力产生的加速度，wv为陀螺自转导致的公转速度变化的加速度。可以知道所有质点的合重力只会使陀螺公转速度增加，所以就不讨论重力的影响，这里只讨论自转导致的公转线速度的变化产生的力。

如图2所示，圆O1为陀螺点e与f绕y轴公转轨迹，由于线段ef平行线段ac，所以ef两点处于同一公转的圆形轨道，分析e与f受力情况。

首先考虑两点公转线速度大小变化对陀螺的力，e的公转线速度方向为e点所处的切线方向，f公转线速度方向为f点所处的切线方向，a点到b点公转速度在一直减小，所以e点的公转线速度在减小，对陀螺的力为f1，与公转线速度方向一致，b点到c点公转线速度增大，所以f点公转线速度在增大，对陀螺的力为f2，与公转线速度方向相反。因为e点与f点相对y轴有相同的斜率，在e与f处半径变化速度相同，所以e与f处线速度增大和减小的速率相同，所以加速度大小相同，所以f1等于f2，将f1分解为朝向ef的力f4和垂直ef的力f3，将f2分解为朝向ef的力f6和垂直ef的力f5，可以得知f4=f6，两力抵消，则e与f由于线速度大小改变对陀螺的力为f3和f5，大小相等垂直陀螺面向上。

由此可知，由于公转线速度的变化位于半圆abc内所有质点都会对陀螺产生向上的力。其次考虑e与f的离心力。e点对陀螺产生沿半径方向朝向圆外的力f7，f点对陀螺产生沿半径方向朝向圆外的力f8，由于e与f速度大小相同，半径相等，所以f7=f8，f7与f8合力为垂直陀螺面朝上的力。

用相同的方法分析半圆adc，可以得出结果由于公转线速度的大小变化位于半圆adc内所有质点都会对陀螺产生向下的力。公转产生垂直陀螺面向上的离心力。

因为离心力对称平衡，所以不会对陀螺运动产生影响，所以不考虑离心力，只讨论公转线速度变化产生的力。

如图4所示abc面受垂直陀螺面向上的力，adc面受垂直陀螺面向下的力。

为了计算方便将abc面受到力记为f1，f1位于直径bd上f1到陀螺面圆心的距离是L1,f1垂直陀螺面向上，adc面受到力记为f2，f2位于直径bd上，f2到陀螺圆心的距离是L2,f2垂直陀螺面向下。以陀螺与地面接触点为支点，根据杠杆原理从支点到动力作用线的距离为动力臂，则f1的动力臂长度为L1，f2的动力臂长度为L2，对陀螺产生的力f3，f3的阻力臂为L3。所以陀螺将产生一个围绕支点的公转。

如图6所示，陀螺将沿圆q的轨迹运动，又因为受重力影响会偏离圆q，在圆q下方位置运动，大体方向为斜右下方。

根据前文分析陀螺向斜下运动而产生一个垂直于斜下方向并且朝向运动方向左侧的力，所以当陀螺朝向一个方向做绕支点公转时，会产生一个与公转方向垂直方向朝运动方向左侧的力。那么当陀螺向斜右下方运动，就会产生一个斜右上方的力f，f会提供沿陀螺面向上的力f1，沿陀螺面向右的力f2，当f1大于重力沿陀螺面向下的分力时，陀螺做减速下降运动，当陀螺向斜下运动速度为0时，会只有向右水平的一个运动速度，水平的运动速度提供向斜上的力，陀螺开始向斜的右上方运动，当陀螺向斜的右上方运动时，又会产生向斜的左上方的力，当斜左上方的力提供斜向上的分力小于重力时，做减速上升，最终向上的速度为0会再次有一个下落的运动。

大体轨迹如图7波浪线所示，当轨迹上下抖动较小时，看上去只有只有一个沿水平方向的圆周运动。

综上所述，陀螺做绕支点公转时会产生一个与公转方向垂直的力，力的指向与陀螺自转方向有关，当陀螺逆时针转动时，力的方向朝向运动方向左侧，当陀螺顺时针运动时，力的方向朝向运动方向右侧，所以当陀螺受到重力影响时不会朝重力方向倒下，而是产生一个波浪形前进的运动。

（文章所述皆为作者本人观点，如有问题，文责自负）