论玻尔理论和对应原理

陈静怡

摘 要：卢瑟福通过α粒子散射实验，得出了卢瑟福原子模型。普朗克为解释黑体辐射，提出了量子概念。玻尔依据以上两个理论基础，提出了具有跨时代意义的原子理论。本文从玻尔的原子理论出发，详细阐释了玻尔的原子理论以及对应原理，分析它们的意义及应用。

关键词：玻尔原子理论；对应原理；表述；应用

一、引言

1900年，物理学界遇到了一个巨大的难题，即“紫外灾难”。人们试图用维恩定律和瑞利-金斯定律来解释黑体辐射，然而，维恩定律能较好地解释黑体辐射的高频区域，却无法解释低频区域，瑞利-金斯定律恰好与之相反。

经典物理似乎对于黑体辐射的理论解释无能为力。同年10月，普朗克得出了一个与实验数据完全吻合普朗克公式。依此，普朗克提出了自己都震惊的理论解释——单独量子谐振子吸收和放射的辐射能是量子化的。

玻尔根据普朗克量子场论及卢瑟福原子理论，提出了玻尔原子理论及玻尔原子结构假设，很好地解释了氢原子基态电离能等实验结果。玻尔认为经典物理与量子物理在某种条件下是统一的，因此提出了著名的“互补原理”，及“对应原理”。这两大原理的提出，使得旧量子场论被推翻，为新量子场论的建立提供了肥沃的养料。

二、玻尔理论与历史发展

（一）卢瑟福原子结构的困难

1911年，卢瑟福在老师汤姆森的指导下，通过对自己设计的α粒子散射实验数据进行思考。最终推翻了老师汤姆森的原子结构模型，提出了卢瑟福原子结构模型。这个类似“太阳系”的原子结构模型依靠电磁相互作用力维持运转。这是一次巨大的创新，然而它却因自己具有无法解释的缺陷不被物理学界所重视。

为物理学界所知，氢原子是由一个带正电荷的原子核和带负电荷的电子构成的。依据卢瑟福原子结构理论，可将电子的运动看作是绕着原子核作圆周运动，因此根据经典物理理论，电子的向心力等于库仑力，即：

上式中（2）（4）两式充分体现了卢瑟福原子结构模型的理论表述。然而依据卢瑟福原子结构模型，电子不停的绕核运动会辐射出连续的电磁波，也就会产生连续的光谱辐射，整个原子的能量将不断减少，从而导致了电子与原子核之间的距离越来越小，最终电子将打在原子核上，所有原子都将只有原子核的大小，大致半径约为 。

然而实际上，氢原子的辐射光谱是分立的。所有原子的半径也并非 大小，从各种实验测得的原子半径均为 的数量级。因此，卢瑟福原子结构模型并不能完美地解释氢原子。

（二）普朗克量子场论

黑体是用于研究热辐射的理想物体。19世纪，由于冶金以及照明设备制造等的需要，人们急需找到黑体辐射强度和辐射频率的关系。1889年卢默与鲁本斯通过研究空腔辐射得出了黑体辐射光谱的实验数据。

1900年10月，普朗克将维恩定律加以改良，得出了普朗克公式，该公式完美地解释了黑体辐射的实验数据。依此，普朗克提出单独量子谐振子吸收和放射的辐射能是量子化的。从此，物理学界的量子理论开始渐渐走上舞台。

（三）玻尔理论

1913年，玻尔提出了新的原子结构模型，该模型是在卢瑟福原子结构模型的基础上，引入普朗克量子理论而产生的。玻尔原子结构模型提出了以下几点假设：

1、核外电子只能在某些特定的（有确定的半径和能量）圆形轨道上绕核运动，且处于稳定状态。在轨道上运动的电子既不吸收能量，也不放出能量。

2、电子在不同轨道上运动时，其能量是不同的。轨道离核愈远，能量愈高。当原子中的电子处于离核最近的轨道时，它们处于最低的能量状态，称为基态。当原子从外界获得能量时，电子可以跃迁到离核较远、能量较髙的轨道上，这种状态称为激发态。电子的能量是量子化的，它不可能处于两个允许的相邻轨道的能量之间。

3、电子在能量不同的轨道之间跃迁时，原子才会吸收或放出能量。处于激发态的电 子不稳定，可以跃迁到离核较近的轨道上，同时释放出光能。释放出光能（光的频率）的大小决定于两轨道之间的能量差，其关系式为：

其中 为两能级间能级差， 为较高能级具有的能量， 为较低能级具有的能量，h为普朗克常量，约为 。

玻尔原子结构模型说明，在正常状态下，氢原子的电子均在固定的轨道上绕核运动，不会辐射出电磁波，电子与原子核的半径也不会因此减小。同时，当原子吸收外界足够的能量后会从低能级跃迁到高能级，即从基态跃迁到激发态，处于激发态的电子是不稳定的，它将辐射出能量，使自己重回基态，而这辐射的能量是分立的，不是连续的。因此，量子化的原子结构模型很好地解释了氢原子稳定存在的原因，而且还成功地说明了氢原子和类氢原子的光谱现象。

三、玻尔的对应原理

在得出玻尔原子结构模型之后，玻尔并不这么认为经典物理完全错误。为此，他提出了著名的“互补原理”，及“对应原理”。其中“互补原理”即宏观与微观理论，以及不同领域相似问题之间的对应关系。

（一）对应原理的表述

设有一个处于定态的多电子原子，该原子内部电子运动可以用经典力学表述，因此可通过f个广义坐标 来描述。同时该体系为多周期体系，因此可以假设各个广义坐标可以展成多重的傅里叶级数：

其中， … 是P个不可通约的基频，其个数称为体系的周期度。为了方便，先分析单周期，即P=1时的情况：

其中 是体系的经典绕转频率，按照经典电动力学，如果绕转部分是带电的，体系就会出现频率为 、2 、…、 的电磁波。1913年，玻尔开始考虑经典的和量子的谱线频率的极限重合。设单周期体系的两个定态分别为n和 。当n和 远大于其差值时：

其中， 是体系经典绕转频率， 是按照玻尔假设中计算而来的态n和 之间的跃迁所发射的量子频率。上式表明在一定的条件下，每一次频率为 的辐射跃迁可以和经典运动中的一个傅里叶分量 对应起来，二者频率接近重合。最终，玻尔得出了近乎完美的对应关系，可以简单表述为：“在大量子数极限情形下，量子体系的行为将渐近地趋于经典力学体系的行为。”

（二）对应原理的应用——矩阵力学的建立

1925年7月，矩阵力学是量子力学其中一种的表述形式，首先被海森堡提出，它是由海森堡、玻恩和约尔丹（P.Jordan）于1925年完成的。矩阵力学的思想出发点是玻爾模型中许多观点，诸如电子的轨道、频率等，都不是可以直接观察的。三人共同创立了矩阵力学。1925年，海森堡、玻恩、约丹先后出版了关于矩阵力学的著作：《关于量子力学》、《关于量子力学Ⅱ》，标志着矩阵力学的诞生与成熟。

四、总结

从普朗克为了解释黑体辐射开始，量子理论逐步地揭开身上的面纱。爱因斯坦在解释光电效应时也提出了量子假说，证实了量子论的正确性。玻尔创新地将量子理论运用到原子结构中来，成功阐释了原子结构的稳定性与光谱的分立特点。为了使得经典物理与量子理论相统一，玻尔开始思考两种看似表面上截然不同的理论其本身所具有的联系，最终玻尔提出了“对应原理”与“互补原理”。在之后的多种实验中，均证明了这两种原理的正确性。从此，微观物理中的量子力学渐渐走向历史的舞台。

参考文献

[1] 张立霞，陈荷香，文放.论玻尔理论和对应原理 [J].北京电力高等专科学校学报，2010，5：162-163.

[2] 戈登.尼尔斯·玻尔和他的对应原理 [J].自然辩证法研究，1987，3（4）：7-17.

[3] 胡化凯.对应原理与矩阵力学的建立 [J].物理学史，1997：34-38.

（作者单位：浙江师范大学）