小球在斜面上的滚滑运动

徐文杰 于正荣

(1. 盐城市教育科学研究院,江苏 盐城 224005； 2. 盐城市伍佑中学,江苏 盐城 224041)

小球在斜面上的滚滑运动

徐文杰1于正荣2

(1. 盐城市教育科学研究院,江苏 盐城 224005； 2. 盐城市伍佑中学,江苏 盐城 224041)

本文针对一道中学阶段常见的习题,研究了均质小球在斜面上释放后的运动情况．指出滚动与滑动的差异,并给出小球做纯滚动的条件,进一步说明了小球在做纯滚动和又滚又滑运动时能量转化的关系．

均质小球;斜面;纯滚动;又滚又滑

1 问题的提出

下面一道常见的中学物理习题,很有深入探讨的必要．

图1

本例题粗看非常简单,常见的解析大致如下.

常规解析:小球在运动过程中受到重力mg、斜面的支持力N和摩擦力f作用,设小球沿斜面向下运动的加速度为a．则根据牛顿第二定律有

mgsinθ-f=ma.

并且小球所受的滑动摩擦力f满足

f=μmgcosθ.

由于小球从静止开始沿斜面做匀加速直线运动,根据运动学公式有

由以上3式可解得小球在斜面上运动的时间为

上述解答看似无可厚非,实际上存在重大问题．因为小球释放后,不仅沿斜面向下平动,并且由于摩擦力的存在,小球同时还将绕质心转动．转动的存在会对小球的运动产生什么影响呢?另外,有人认为,小球之所以称为“小”,其半径应该是可以忽略的,这样就完全可以把小球等效成方形滑块来处理,这种看法又是否正确呢?下面笔者试图对这个问题进行详细研究,以期得到一个较为明确的认识,供大家在教学中参考．

图2

2 问题的分析

首先分析小球在斜面上运动时的受力情况,小球受到重力mg、支持力N和摩擦力f作用,如图2所示．这里需要注意的是摩擦力的作用点与小球的质心并不重合,而是位于小球与斜面的瞬时接触点处,正是这个原因小球才会转动．由于小球涉及平动和转动,因此须用刚体力学知识求解．设小球的半径为r,小球质心沿斜面向下运动的加速度为a，同时小球绕质心转动的角加速度为β．对小球质心的运动,根据质心运动定理有

mgsinθ-f=ma,

(1)

小球由于绕质心转动,根据动量矩定理有

fr=Iβ,

(2)

对于质量分布均匀的实心球体,其转动惯量I满足

(3)

a=rβ.

(4)

根据以上4式可解得小球质心沿斜面向下运动的加速度为

(5)

显然,小球的质心在做匀加速直线运动,所以小球在斜面上的运动时间为

(6)

将前文例题中的数据代入(6)式,可算得小球在斜面上的运动时间t=0.748s,这与常规解析的1s时间相差较大．不过,例题中的小球能做纯滚动吗?下面继续讨论．

将(5)式代入(1)式可解得小球做纯滚动时所受到的摩擦阻力为

(7)

(8)

另外,由于小球与斜面之间的摩擦力是静摩擦力,它的存在虽然导致质心的加速度小于斜面光滑的情况(a=gsinθ),但由于它的作用点的位移为0,即此静摩擦力不做功,所以小球在做纯滚动时,机械能实际上是守恒的．不过,需要强调的是,这时小球的动能包含两部分,即质心运动的动能和小球内各点绕质心转动的动能．研究小球从开始释放直至斜面底端的过程,根据机械能守恒定律有

(9)

再有,由于(5)～(7)式的结果与小球的半径无关,因此我们绝不可以说只要小球的半径足够小,其运动情况就与方形滑块等同．

3 问题的拓展

由于小球相对于斜面存在滑动,此时所受摩擦力实际是滑动摩擦力,其大小满足

f=μmgcosθ,

(10)

将(10)式代入(1)式,可解得小球质心相对于斜面的加速度为

a=g(sinθ-μcosθ).

(11)

另外,将(10)式代入(2)式,并结合(3)式可解得小球绕质心转动的角加速度为

(12)

由此可得小球相对斜面滚动(即小球与斜面的接触点绕质心转动)的加速度大小为

(13)

(14)

所以小球在斜面上运动的过程,摩擦力的作用点的位移不为0,因为摩擦产生的热量为

(15)

再从能量转化的角度看,小球在斜面上运动的过程,重力势能的减少量等于小球动能增加量与由于摩擦产生的内能(热量)之和．所以有

(16)

将v=at，ω=βt代入(16)式,可以验证其结果与(15)式完全一致．这表明小球做又滚又滑运动时同样遵从能量转化和守恒定律．

综上所述,小球在斜面上的运动与方形滑块的运动存在着明显的差别,运动能否等效与小球的半径大小没有任何关系,只有动摩擦因数足够小时,两者才能等效看待;小球运动时能量转化的情况也与方形滑块的运动显著不同,但均遵从能量守恒定律;正确分析小球的运动,需用刚体平行平面运动的动力学知识.这显然已经超出了中学要求,广大中学物理教师在命制相关习题时一定要注意回避,以免出现科学性错误．

1 周衍柏.理论力学教程(第2版)[M].北京:高等教育出版社，1985:203.

本文是江苏省教育科学“十二五”规划课题“高中学生物理思维品质发展和分化现象的研究”(课题编号D/2013/02/571)阶段性成果．

2017-02-13)