数学语言也要“读”字当头

方卫

数学难学，学生怕学，难与怕的关键在数学语言有别于自然语言的形式与内涵。数学语言是开展数学思维的载体与基础，是数学交流的介质与桥梁。数学语言不“识”，自然数学思维就难“破”。要掌握好数学语言，需要我们“读”字当头。这里的“读”不全是指文科类的朗读、阅读，而是指数学阅读。

一、数学阅读的内涵

数学阅读是指围绕数学问题或相关材料，以数学思维为基础和纽带，用数学的方法、观念来认知、理解、解决问题的过程，以及感受数学文化的学习习得活动。从心理层面来看，它是用已知的经验和思维来理解数学语言、符号、图表和领会数学文化的心理过程。

更加通俗一点，就是学生对相关数学信息用数学的观念、方法来感受、理解与做出恰当反应的过程及活动，这个“过程”“活动”包括过滤信息、接受信息、综合信息、转化信息、表达信息，等等。

二、数学阅读的理论支撑

在研究中我们参考了建构主义理论和心理学家纽威尔与西蒙的“信息处理系统”理论。心理学家纽威尔与西蒙的“信息处理系统”理论如下：

接纳者：感觉神经接受问题所产生的刺激，并将信息（包括问题的信息与解决问题的标准）传递给处理者。处理者：即认知过程，他根据已有的学习或经验中所获得的解决问题的程式或策略对信息进行处理，需要记忆的有关原则及内容则自动求助于记忆系统。作用者：将处理者提供的有效解答揭示出来，揭示方式有语言表达或动作表现。

另一个就是建构主义理论，即认知发展受三个过程的影响：同化、顺应和平衡。

同化（assimilation）是指学习个体对刺激输入的过滤或改变过程。也就是说个体在感受刺激时，把它们纳入头脑中原有的图式（图式是指个体对世界的知觉理解和思考的方式）之内，使其成为自身的一部分。顺应（accommodation）是指学习者调节自己的内部结构以适应特定刺激情境的过程。当学习者不能用原有图式来同化新的刺激时，便要对原有图式加以修改或重建，以适应环境。平衡（equilibration）是指学习者个体通过自我调节机制使认知发展从一个平衡状态向另一个平衡状态过渡的过程。

三、根据数学信息的特征进行有针对性的阅读

首先我们从宏观上对学生接触到的数学语言进行分类，并挖掘它们的意义，让学生对阅读对象有基礎性的了解，然后才是引导学生对具体的数学信息进行有效阅读。

1.自然文字语言。数学阅读是阅读教学的一个分支，它应具有自然语言、文字语言的一般属性，即注重对字、词、句、段的理解，语义处理，句法结构剖析，明确问题背景，已知及未知等内容，如“和”“或”“增长了”“增长到”“打折”“同比”“环比”“相向”“同向”等常用语的数学意义及理解，如数学故事、数学问题、数学史、数学人物介绍等，这都属于自然语言的范畴。

2.特定的术语、概念。如“全等与相似”“等式性质”“绝对值”“有且仅有”“勾股定理”“函数”“中位数”“方程”“完全平方式”“平方根”“算术平方根”等。因为概念是数学化了的自然语言，所以我们在教学中一定要注重概念产生的背景与意义，注意在大量素材基础上提炼出概念的本质属性，让学生明白术语与概念的内涵。

3.符号语言。如象形符号：⊥∥∠≠≡等，缩写符号：⊙△cos等，模型化符号（用字母等表示的公式、规律）：a+b=b+a，|a|，[a]等。

4.图形语言。如各种几何图形、统计分析图等，要将文字语言与图形语言结合，从中阅读出相关的几何性质，以及从统计图中读出相关数据信息等，强化用数学语言来“翻译”图形语言。比如，看到直角三角形的图形，我们自然要联想到三边关系、角的关系、边与角的三角函数关系、斜边上中线性质、高线等内容。

5.图象语言。要从各类函数图象中读出该类函数的性质，以及相关的数据条件，强调图象的要素构成与性质的提炼运用。

6.表格语言（统计数据表、分析表框等）。它们是数学思维的载体与中介，也是数学思维的重要材料和结果，是抽象思维的重要工具。在阅读中，要注重表中的要素及要素相关的数据，并用数学模型表示出来（如方程，不等式）。

在实践中，我们总结出了阅读数学信息共性的操作要点：①初识信息，将文本、直观的信息进行“扫描”，初步转化为接近个人认知结构的语言形式（比如用自己的话来表达自己的理解与思维）；②明确某些概念的意义及特征，联结已有认知结构和经验，引起内部认知的冲突并进行有效回忆，形成自我的数学直观，明确信息的关键、难点、相关概念等；③通过数学思维（观察、对比、类比、合情推理等）加工解读信息；④形成成果，将个人最优化的结果进行总结、表达、反思。

针对不同类型的数学信息，我们制订了不同的阅读策略。

概念术语类。第一步，感知数学信息（如数、式、括号、乘方）的认识，数学阅读的感知部分是指数学概念或数学术语的取得或解码；第二步，理解（回忆）信息的意义，理解数学阅读信息即赋予信息意义，知道是怎么一回事，包括解析与使用的过程；第三步，明确法则步骤，操作演算。如计算[6×（12+23）÷（-2）3]，很多教师认为这是很简单的事情，在教学中总是“大而统”地要求学生做。为什么总会出现解题困难的学生，或解答不完整的学生呢？做不对或不全对的学生问题在哪里？那就是学生阅读这个题时，对题中的信息解读不够，并且作不出相关反应。本题的阅读点很多：括号赋予了运算顺序的信息，分数相加的法则回忆，乘方的认识与转化，除法的转化等等。成绩不理想学生遇到的问题也就是解不出信息量较大的综合题。阅读课题研究启示我们，教学中一定要换位思考，引导学生善于抓住问题中的阅读关键点进行思考并解答问题。

数字信息类。通过数字、数字单位等数学符号来表现数学信息，要求挖掘出数字本身的组成规律以及数字间的关系，比如勾股数、倍分关系等。例如：

请你仔细观察下列式子：endprint

31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187，38=6561，……

回答问题：（1）32010的个位数字是多少？（2）请你探究22010的个位数字。

几何图形类。要用数学的眼光来敏锐感受所接触的信息，并用数学的知识来解读。如下列图形，我们用数学阅读的眼光来看，就应该通过对称性来思考问题。

而对于几何证明题，第一步，结合图形正向发散条件，并在图形中作批注。如图形中有“垂直”就要想到90度的数量结论。第二步，将题干中的文字、符号条件、图形中的条件、求证的内容进行结合，展开数学想象，需要与哪些定理、性质、判定等建立联系，如条件不充分再作出辅助线，在分析中不断进行合情推理与验证。第三步，逻辑证明与反思解题。

信息迁移类。我们要把握信息的本质内容，将阅读理解到的信息运用于解决的问题之中。其实数学的学习就是不断地将学到的信息运用于待解决的问题之中的過程。这个过程一是要从提供的阅读信息中提炼出本质的结论；二是在新情境中运用这个信息时，一定要注意新问题要与原信息的实质一样，只是形式不同而已。例如运用“过平行四边形的对称中心的任一条直线平分这个平行四边形”这一结论解决问题：

（1）已知：如图1，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，过O的任一条直线l交AD于E，交BC于F。求证：S四边形ABFE=S四边形EFCD。

（2）如图2，矩形木板上有一个平行四边形的缺口，请你画出一条直线将剩下木板的面积平分。

（3）如图3，长方形纸片ABCD，其中有一个圆形破洞（即⊙O），现用剪刀沿直线剪一刀，将剩余纸片的面积平分，请在图中画出这条裁剪线。

图象性信息。挖掘图象中各信息所反映的数学特征，如图象与x、y轴的交点和其它特殊点的意义，象限分布与表达式的特征，图象形状与表达式的类型，函数表达式与相关性质，等等，然后将图形中“形”的信息转化为“数”的信息。如果题中还有其他关键文字信息（如“平均”“总数”“规模”等），这时还要将文字信息与图象信息结合，再化图象信息为数字信息，最后建立数学模型求解。

例如：已知某办公室的饮水是某品牌的桶装水，已知桶中剩水量y（升）与时间t（天）的函数关系如图所示。工作中，有教师因公外出，直到该桶水喝完才返回单位。（本题的设计未考虑星期六、星期天的因素，在思考解答问题中也不需考虑这个因素。）

（1）请问老师是第几天因公外出的？

（2）如果没有老师因公外出，按原饮水速度，这桶水可以饮用几天？

（3）老师因公外出后，平均每天的饮水量只有原来平均每天饮水量的一半，请求出老师因公外出后，剩余水量与时间的关系式。

特征性数学信息。抓住信息中的关键性语言、词语、图形、信息的形式等的特征，将信息进行正向有效的联想，并与相关的知识储备建立联系。联系的快慢是学生不同阅读水平的反映。数学特征性信息的整体把握，要有特殊的敏感；要培养敏感，就必须在平时教学中进行有意识的积累。

比如已知[a=32，b=12]，则[a2-2ab+b2]等于多少。不同的学生对信息就会有不同的反应，从而产生不同的解答方法。

另如：如图，已知P是边长为a的正三角形ABC内的任一点，PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，PD⊥AC于D，则PD+PE+PF的值为多少。这里有垂直，并有PD+PE+PF这个整体“形”的启示，自然产生面积法的解题思路。

特殊文字性信息。即文字信息转化为数学信息和数学信息间的综合与转化，要用恰当的数学模型来表达这些数学信息。

例如：某校若干间寝室分配给某班女生住宿，已知女生数少于35人，若每个房间住5人，则剩5人没住，若每间房住8人，则空一间房，并还有一间房住不满，请问学校分配给这班女生的寝室有几间？多少女生？此题的思路全在“还有一间房住不满”上，由此用不等关系来建立模型，再找数量之间的关系，从而破题。此处也是该题的“题眼”，数学阅读理念指导的教学就是要善于抓住这些关键性的信息。

再举一例，已知：直角梯形OABC的四个顶点是O（0，0），A（[32]，1），B（s，t），C（[72]，0），抛物线y=x2+mx-m的顶点P是直角梯形OABC内部或边上的一个动点，m为常数。

（1）求s与t的值，并在直角坐标系中画出直角梯形OABC；

（2）当抛物线y=x2+mx-m与直角梯形OABC的边AB相交时，求m的取值范围。

此题的思路与关键信息在哪里？全在“顶点P是直角梯形OABC内部或边上的一个动点”。通过这个点的坐标用不等关系把“在OABC内部或边上”表示出来，就是解答思路。

数学语言有章可循，数学阅读有法可依。首先，教师的观念要更新，要接受数学阅读的相关理论与操作。数学阅读的层次要高于自然语言的阅读。数学中的概念与公式的“读”有朗读的层面，而更深的层面是口读的同时，头脑里会呈现相对应的图形（或素材），辅之相应的逻辑思维。其次，教师应指导学生形成对数学信息的阅读意识、习惯，帮助学生形成基本的阅读能力与方法，强化学生对数学信息的敏感度与处理转化能力。最后，要注重阅读与表达结合，强调边阅读边思考边口头表达（如发声思维、思路表达、互动交流），等等。

（作者单位：长阳教育研究与教师培训中心）endprint