巧用v—t图像解决带电粒子在周期性电场中的运动问题

黄绍琴

带电粒子在周期性變化的匀强电场中的运动比较复杂，是《静电场》一章中的重点与难点，且带电粒子的运动情况往往由初始条件决定，在解题的过程中，学生很难正确解答出结果。物理图是表达物理过程、规律的基本方法之一，物理图像具有直观、形象、简明的特点。本文将从带电粒子运动过程的v-t图像入手探讨快捷、简便的解答该类问题的方法。

例1 图1所示A、B是一对平行金属板，在二板间加上一周期为T的交变电压，A板接地（φA=0），B板的电势φB随时间的变化规律如图1乙。现有一电子从A板上的小孔进入二板间的电场区内，设电子的初速度和重力均不计。在电子进入的第一个周期内电子一定不能到达B板。则下面正确的是（）

A.若电子是在t=0时刻进入小孔的，它将一直向B板运动；

B.若电子是在t=时刻进入小孔的，它可能时而向B板，时而向A板运动，最后打在B板上；

C.若电子在t=时刻进入的，它可能时而向B板，时而向A板运动，最后打在B板上；

D.若电子在t=时刻进入的，它可能时而向B板，时而向A板运动。

试题分析：本题是有关匀强电场、匀变速直线运动、牛顿运动定律与运动学的综合运用。由于电子在不同时刻进入电场的加速时间、末速度、位移各不相同，用数学表达式分析很麻烦，但借助v-t图像对过程进行定性分析可使各物理量间的关系变得很清晰，从而省去了定量计算的麻烦。图2是分析电子从t=0时刻进入小孔时的运动特点并由此作出电子的v-t图像，从图像我们可以知道，当电子在t=0时刻进入电场时，电子在0～T/2内一直向B板匀加速，T/2～T内向B板做匀减速运动，T时刻速度恰好减为零，后面每一个周期内的情况与此完全相同，且从v-t图像可得，图像包围的面积为正的，即电子一直向B板运动，A正确。

若电子是在T/8时刻进入，为了让学生有更直观的认识，笔者在教学的过程中采用平移v-t图像坐标轴的方法来研究电子的运动。如图3所示，把坐标轴从①位置平移到②位置（即电子从T/8时刻进入），在v1-t1图像中我们可以看出，在一个周期内，电子时而向B板运动，时而向A板运动，但一个周期内的位移的代数和为正，即向B板运动的位移大于向A板运动的位移，因此最后仍能打在B板上，B正确。

同理，继续平移坐标轴，到T/4时刻进入，如图4所示，把坐标轴从①位置平移到③位置。学生可以观察到，在一个周期内，电子先向B板运动，后向A板运动，但v2-t2图像包围的面积代数和为零，即电子在极板中做往复运动。

通过平移坐标轴到不同位置，即可研究从不同时刻进去的粒子的运动情况，学生通过研究不同时刻进去的电子的运动情况，总结规律如下：只要电子进入电场的时刻t<，电子必将时而向B板运动时而向A板运动，但最终必能到达B板；只要电子进入电场的时刻t=，则电子只能在出发点与场内某点间作来回运动；当电子进入电场的时刻t>，则电子将不能完成一个周期的运动将从A板飞出电场。电子在后面的各周期中将重复以上运动过程。通过以上的分析可知，本题的答案为AB。

此题难度偏大，但是通过对v-t图像的分析，学生能有效地掌握整个物理过程，突破了教学的重点和难点。

变式题1.如图5所示，两平行正对的金属板A、B间加有如图乙所示的交变电压，一重力可忽略不计的带正电粒子被固定在两板的正中间P处。若在t0时刻释放该粒子，粒子会时而向A板运动，时而向B板运动，并最终打在A板上。则t0可能属于的时间段是（ ）

A.0

C.

试题分析：本题是例1的变式题，学生在做题时感觉困难较大，在例1中，给出了确定的时刻，部分学生即使不清楚整个物理过程，也可以通过数学表达式分析来得出正确的答案。在本题中，要求学生寻找临界条件，从而得出范围，学生感觉无从下手。在本题中，用平移v-t图像坐标轴的方法来研究带电粒子在极板中的运动情况能使学生掌握整个物理过程。具体过程如下：首先做出t=0时刻进去的v-t图如图2所示，v-t图像面积为正代表着向B板移动。通过平移坐标轴使带电粒子在0

例2 如图6（1）所示，平行金属板A和B间的距离为d，现在A、B板上加上如图6（2）所示的方波形电压，t=0时A板比B板的电势高，电压的正向值为U0，反向值也为U0。现有由质量为m的带正电且电荷量为q的粒子组成的粒子束，从AB的中点O以平行于金属板方向OO′的速度v0=射入，所有粒子在AB间的飞行时间均为T，不计重力影响。求：

（1）粒子飞出电场时位置离O′点的距离范围；

（2）粒子飞出电场时的速度；

试题分析：粒子的运动可分解成平行于初速度方向的匀速直线运动和垂直初速度方向的变速直线运动，这是大多数学生都能解决的一个问题。但是粒子在什么时刻进入时，偏向O′位置最下端或最上端，学生往往感觉无从下手。同时，对于不同时刻进入电场的粒子飞出电场时速度是否相同，这也是学生困惑的问题之一。

笔者在教学的过程中，从v-t图像出发，帮助学生理解整个物理过程，提高做题的效率和准确度。具体过程如下：做出t=0时刻进入的粒子的v-t图像如图7所示。

通过平移坐标轴，寻找临界条件，如图8所示。

通过v-t图像进行分析，得到相应的临界条件，即粒子在t=0、T、2T…时刻进入时，O位置偏向最下端，粒子在t=T、t=T+T、t=T+2T…时刻进入时，O位置偏向最上端，根据v-t图像包围的面积求解即可。在速度方面，任意时刻进入电场的粒子出来的速度相同。

解答：（1）当粒子由t=nT时刻进入电场，向下侧移最大，则s1=·（）2+··-·（）2=；

当粒子由t=nT+时刻进入电场，向上侧移最大，则s2=·（）2=；

所以在距离O′中点下方至上方范围内有粒子打出。

（2）打出粒子的速度都是相同的，在沿电场线方向速度大小为vy=·=，

所以打出的速度大小为=，设速度方向与v0的夹角为θ，则tanθ==1？圯θ=45°

本文仅从以上三个例子说明，v-t图像在解决带电粒子在周期性电场中的运动问题能够化繁为简，化难为易，化抽象为具体，有效地突破教学的重点和难点。巧妙地运v-t图像，一定会对物理学习有着意想不到的效果。

（作者单位：广西玉林高级中学）