基于数学实验平台的高职数学教学实践研究

□张 琪

(山西职业技术学院,山西 太原 030006)



基于数学实验平台的高职数学教学实践研究

□张 琪

(山西职业技术学院,山西 太原 030006)

对于大部分高职院校来说,数学实验课的开设仍在不断探索中,并且各个院校对于数学实验课的看法也不尽相同。在开设数学实验的两年时间里,我们采用基础数学实验与建模数学实验相结合的方式进行课程的开设,以此来开阔学生的视野、激发学生学习数学的热情,培养学生运用数学方法,借助于计算机去解决实际问题的意识和能力及创新精神。

数学实验;数学软件;Mathematica软件;高职数学;数学建模

1 引言

高职数学教育强调以“必须、够用”为基本原则,其主要目的不是学习数学严谨抽象的理论体系,而是让学生能够具备一定数学基本知识,结合所学专业以及未来职业需求,学习数学的思想、方法,让学生具备基本的数学素养和数学应用能力。

国际知名的数学教育权威学者、荷兰数学家Hans Freudenthal指出: “数学教育的本身是一个过程,它不仅是传授知识,更重要的是在教学过程中,让学生自己亲身实践……数学教育必须有自己的实验室,传统的教学方式不能实现真正意义上的数学教育……”。高职院校开设数学实验课,是为了让学生更好、更有效地学习高职数学,使学生在应用和探索中获得专业所需要的数学基础知识。数学实验依赖于数学原理,数学实验教学基于课堂教学模式。在数学实验课中,借助计算机强大的计算功能和绘图功能,既能调动学生充分应用所学数学知识,还能让学生在实际操作中加深对数学知识的理解。

2 开设数学实验课的实践研究

2.1 以数学软件为工具

数学实验以数学软件为主体,在一系列高性能的数学软件中,我们选择Mathematica软件。Mathematica是一个交互式、集成化的计算机软件。Mathematica能够进行初等数学、高等数学、工程数学等各种数值计算和符号运算。它还有非常强大的绘图功能,它包含的近百个作图函数是数据可视化的最好工具,能方便地画出各种曲线、曲面,甚至可以进行动画设计。其语法规则和表示方式更加接近数学运算的思维和表达方式。用Mathematica编程,用较少的语句就可以完成复杂的运算和公式推导等任务。此外,根据实验内容不同,还可以适当加入对于问题解决更加“专业的”软件,例如处理统计方面的SPSS,规划问题的LINGO等。扩充学生对数学软件的认识、应用。让数学软件称为学生学习数学知识和数学应用的良师益友。

2.2 教学模式构建

1998年,普通高校本科专业目录与专业的介绍中,非常明确地将数学实验列入数学类专业的主要课程。如今,国内大学开设数学实验课程是教育部“高等教育面向21世纪教育内容和课程体系改革计划”课题组的主要研究成果。探索如何利用数学软件进行案例教学和数学建模。因此,结合高职院校学生生源的实际情况,数学实验课采用基础数学实验与建模数学实验相结合的教学模式。

2.2.1 基础数学实验

鉴于高职院校公共基础课的课时压缩,开设专门的数学实验必修课难度较大,因此可以考虑以“课堂教学同步”,将数学实验作为教学中的一个“补丁”,将数学知识通过计算机和数学软件变成一门可动手操作的“技术”。教学时数建议设置在10——16学时之间。在教学中仍旧保留课堂教学,但适当减少复杂的计算及推导证明,重点向学生讲授数学概念、数学思想及数学方法。根据各个院校的实际情况,可以向教务管理部门提出申请,数学实验的学时不占用课堂教学时数,将其安排在课外时间进行。

基础实验也是我们目前开展数学实验课的重要模式。数学实验课上的实践教学可以从两方面展开:

(1)在介绍Mathematica基本操作和常用命令的基础上,借助于数学软件的快速运算功能、图形处理能力等开展的模拟数学实验教学。此环节建议跟随课堂教学同步进行,即教师在课堂上用数学软件进行操作演示。

(2)通过对研究对象的不同变化形态的展示,创设问题情境,引导学生运用不同的思维方式探究数学知识、检验数学结论的探究数学实验。将微积分(微分学、积分学、微分方程)、工程数学(线性代数、级数与拉氏变换、概率统计)中的概念课、习题课、应用课不同程度地与数学实验相结合,帮助学生理解概念,摆脱枯燥的计算,把理论应用到实际中去。

数学教学中的一个难点,就是概念课的教学。学生对于数学概念的理解往往是一知半解,没有读懂、读透概念背后所反映的根本问题是什么。概念不理解,造成后续的学习难以进行。

下面通过一个案例,来介绍结合数学实验之后,如何化解概念课的教学难点。

【典型案例1】结合数学实验的“傅里叶级数的概念”教学设计。

傅里叶级数是电子、自动化专业学生的一个必修知识点,但因其概念过于抽象,且公式形式复杂,高职学生的数学基础较薄弱,种种客观原因造成学生在学习傅里叶级数时,往往“搞不清楚这是在干什么”。因此,为了帮助学生更好地理解概念的本质,在引入概念时,进行如下的教学设计:

课前任务:从专业背景出发,要求学生在专业课实训时,用示波器调试出 “方波”的波形,并仔细观察(图1所示)。之后提出问题:“方波”是如何形成的?它与我们熟知的“正弦波”有何关系?

课堂讨论:通过这个环节,教师所要做的就是把抽象、烦琐的理论直观化、简单化,让学生易于接受。此环节主要运用Mathematica软件的绘图功能,由教师有目的得安排演示内容。让学生分别绘制以下函数的图形,并通过对比观察,学生小组讨论,得出讨论结果。教师在此过程中,引导学生发现其存在的“规律”——多个正弦曲线不断“叠加”。

调用Mathematica软件中的绘图命令:Plot[function,{var,min,max}],并使用命令将两个函数图形呈现在同一平面直角坐标系中。

Mathematica软件还具有图形动画和声音播放等功能,可以尝试让学生自己动手“做数学动画”。所以,在“规定”好的教学内容基础上,教师还可以灵活地将这些有趣的功能渗透到数学实验课程的教学中,更好地调动学生对数学知识学习、软件功能探索的积极性。

图1 “方波”波形图2 y=sinx与y=13sin3x图3 y=sinx+13sin3x图4 y=sinx+13sin3x+15sin5x+17sin7x图5 y=sinx+13sin3x+…+121sin21x图6 y=sinx+…+1401sin401x13sin3x

【典型案例2】函数动画演示

Manipulate是Mathematica中给用户提供的可以进行交互运行函数和命令的方式,让函数展开、积分等数学运算“动起来”,特别是动画演示函数图形,栩栩如生且简单易掌握。

拖动参数a的游标,调整a 的取值,观察函数sinax的图形随参数a值的变化情况如图7、图8所示:

输入:Manipulate[Plot[Sin[a*x], {x, 0, 9}, PlotRange→{-2, 2}], {a, 0, 2}]

在此基础上,还可以加大难度,模拟地球、月球、太阳三个天体的运行模型。给出太阳、地球、月球的半径,地球绕日轨道半径,公转周期,月球绕地轨道半径,公转周期,以及地球轨道倾角的基本数据,将其作为课外活动布置给学生。根据学生的完成情况,可酌情核算一定的分值,计入学生的数学总评成绩中。鼓励学生不断探索软件的不同功能,并以此作为工具学习数学知识,解决实际问题。

图7 函数演示图8 函数演示

2.2.2 建模数学实验

幼儿园的孩子们天生对动画片有着浓厚的兴趣，为了让孩子们自觉融入多姿多彩的语言世界，我们在日常教学中，经常把教学内容通过声音、动画等课件展示出来，开发幼儿的语言想象能力。

伴随着全国大学生数学建模竞赛的火热举行,大数据时代的来临,数学软件的使用在建模竞赛中扮演的角色越来越重要。甚至于在全国竞赛中,还设置了专门的数学软件创新奖。许多院校相继开设数学建模课程,和蓬勃开展的全国大学生数学建模竞赛,是培养学生“用数学”能力的有益尝试,受到学生的热烈欢迎和教育界的充分肯定。开设数学实验课可以说是在总结开展数学建模教学和竞赛活动的基础上,为进一步提高学生“用数学”能力而行的又一次数学教学改革。

建模数学实验是依托数学建模选修课、数学建模社团来开设的。教学时数可根据具体情况安排,不做专门设置。让学生在实验课中构建数学模型,即如何把生活、生产中的实际问题,经过适当的条件限制加工抽象成一个数学问题,并进而选择适当的正确的数学方法来求解。数学方法既可以是初等方法,也可以是高等方法。这类实验课可分五个主要阶段:收集整理素材、进行模型假设、建立数学模型、分析求解模型、模型化归研究。此类实验内容的综合型较强。学生在掌握基础实验内容的层次上,进一步探究应用软件解决实际问题。同时也为参加全国大学生数学建模竞赛打好基础。教师可将数学建模问题简化为一个专门的、结合现实情况的问题,发布给学生,例如拟合实验(学习利用Mathematica软件对数据进行拟合、多元数据的插值)、最优化实验等,都是非常好的实验项目。然后逐渐加大问题的难度,最后以全国大学生数学建模竞赛的赛题为主体,不断训练学生的建模能力。

3 开设数学实验的效果

开设数学实验课,引入数学软件,开阔了学生的知识面。多数学生对数学的认知仍然停留在中学阶段的“题海”、“公式”、“定理”的层面,对数学软件的认识几乎为零。实际上,计算机技术发展至今,衍生出很多优秀的数学软件。数学实验课有效地激发了学生的学习兴趣,学生操作软件时感觉新鲜有趣。通过软件,调用函数、输入程序,一键就能输出想要的结果,让学生感到“无比神奇”。数学课不再是教师在讲台上的“滔滔不绝”,学生在台下的“默默无闻”。合理利用计算机技术,让学生用他们喜欢“玩”的态度,感受在计算机技术的帮助下,解决令他们“惧怕”的高等数学难题。

数学实验课的介入,将传统的“讲授——模仿——记忆”的教学过程,转变为“观察——思考——猜想——验证”,也改变了学生对“实验”一词的理解。让学生能够全面地理解数学知识中的经典概念、经典理论。抽象的数学概念,化静为动,通过软件的各项功能尽可能生动得展示在学生面前,帮助学生理解数学概念的本质。

任何一个事物,当我们知道了它的“来龙去脉”时,就不再神秘、难以捉摸。数学中的概念、定理、公式,也是如此,“来龙”便认为是他们的产生背景、形成过程(数学中推导、证明),“去脉”则看作是数学知识的实际应用。基础数学实验解决“来龙”的问题,建模数学实验则对应着“去脉”。

4 开设数学实验课需要注意的几点问题

4.1 基础实验

在基础实验的教学过程中,应遵循“学生为主,教师为辅”的原则,让学生亲自体验问题解决的全过程,教师必须是引导式的辅导,在学生处于迷惑不解的阶段加以引导,不能过分地参与到学生的实验中。

此外,在教学过程中要坚持“数学实验为数学知识、数学原理”服务的原则,结合数学实验创新教学内容和教学方法,并正确对待数学软件的应用,避免学生过分地依赖数学软件,而忽视了数学思想方法的学习,错误得认为知识的学习就是掌握软件的操作。

构建科学合理的数学实验评价办法。数学实验不是手工计算,它是完全开放的,实验的前提条件可以假设,实验结果也可能不唯一,这就使得数学实验成绩的评定应是多方面的,成绩的评定也更具有灵活性。在评价方式上,建议数学实验主要采用上机考核,最好是在教师的监督下,根据考核内容,以个人或小组的形式完成。同时根据实验内容,要求撰写实验报告。报告是实验成果的书面总结和反思,内容应包括实验目标、内容、过程和结果分析,同时还要完成实验的收获,通过实验理解、掌握了哪些数学知识,数学应用。此外,必须将数学实验的考核成绩纳入数学评价的总成绩中,所占百分比也根据实际情况制定,建议不能低于20%。

4.2 建模实验

在建模实验中,要坚持以学生为主体,循序渐进地开展研究性、探究性的学习。高职学生的学习基础本就较为薄弱,因此在教学中要特别注意实验内容的选取,刚开始时应从最简单的实验入手,培养他们学习的兴趣和热情,再由浅入深、由简到繁、从单纯的数学问题逐渐拓展到实际问题中,逐步提高学生的应用能力。建模实验课的开设就像是给学生打开了一扇应用数学的大门,让学生知道数学知识不仅仅是传统认知中的那些复杂的数学理论证明、公式运算,其实它还广泛应用于我们现实生活的方方面面。

4.3 数学实验教学资源建设

加强数学实验课程的各项资源建设。数学实验开设得成功与否,与师资队伍密切相关。数学实验课的开设对于教师提出了更高的要求,尤其是年龄较大的老教师,他们本就不熟悉计算机的操作,因此这项教学改革对于他们来说,是一项艰巨的挑战。所以,要大力发挥青年教师的带头作用,勇于挑起重担,青年教师与老教师结成“对子”,互帮互助。

同时,与课程配套的相关资源,包括教学内容、教学案例、教材、电子课件等都需要不断地去探究与实践。现有的数学实验类教材几乎都是面向本科及以上学生使用的,各个院校可根据自身的实际情况,编写适合自己适用的校本教材。另外,资金较充裕的院校,建议建设专门的数学实验室,也为教师探讨、研究数学软件、数学实验案例提供较好的实验环境。

5 结语

如今,数学这门自然科学不再停留在知识的层面,已然成为一门可以通过计算机实现的“技术”。在开设数学实验课的两年时间里,我们深刻感受到学生对于它的热情与兴趣,虽然它并不完美。通过数学实验课能更好地更新教学内容、教学方法,进而促进教学改革,实现教学手段现代化。随着计算机技术的诞生和发展,特别是各种数学软件的出现,逐渐改变了人们对数学认识的传统观念,拓展了人们对数学的认识,也改变了对传统实验的原有理解。数学实验的目的就是要激发学生学习数学的积极性,提高学生对数学的应用意识,培养学生用数学知识和计算机技术去认识问题和解决实际问题的能力。现在,数学实验虽不能取代证明,但它已成为数学中越来越重要的部分,深刻地影响到高校数学课程的教学,对教学体系结构、老师和学生三者都产生了深远的影响。

[1] 李 毅.高职数学实验构建与实践[J],职业教育研究,2008(7).

[2] 王小华,王海燕,罗志敏.数学实验在高职数学教学中的作用[J],柳州职业技术学院学报,2009(12).

[3] 刘小伟,卢 昕.关于在高职高专数学教学中开展数学实验的应用研究[J],甘肃联合大学学报(自然科学版),2009(11).

[4] 曹立昆.加强数学实验教学,促进高职教学改革[J],中国科技纵横,2012(9).

[5] 张韵华,王新茂.Mathematica7 实用教程[M],合肥：中国科学技术大学出版社,2011.

[责任编辑：郝晓梅]

2017-01-17

张 琪(1983-),女,山西大同人,现工作于山西职业技术学院，讲师,研究方向：高等数学课程教学，数学建模竞赛指导。

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