电磁感应中的动力学极值问题探析

李秀明

[摘要]电磁感应与动力学是高中物理的重点知识，多年来，电磁感应与动力学的综合问题，常以高考压轴题的形式出现，因而受到广大师生的热捧。文章就电磁感应中的动力学极值问题进行探析。

[关键词]电磁感应；动力学；极值问题

[中图分类号]G633.7[文獻标识码]A[文章编号]16746058（2017）20004801

发生电磁感应现象时，感应电流使导体在磁场中受到安培力的作用（电路闭合），从而引起导体所受合力、加速度、速度的变化，所以电磁感应问题往往与动力学问题联系在一起。求解电磁感应中的动力学问题时，要抓好受力分析和运动情况的动态分析，这类问题的基本模型大致是：导体在拉力作用下运动，切割磁感线，产生感应电动势→产生感应电流→导体受安培力作用→导体所受合外力变化→其加速度变化→其速度变化→当其加速度为零时到达稳定状态，这时的速度为极值（极大值或极小值），导体开始做匀速直线运动。

解决这类问题的基本步骤是：

（1）用法拉第电磁感应定律和楞次定律（包括右手定则）求出感应电动势的大小和方向；

（2）依据闭合电路欧姆定律求出回路中感应电流的大小和方向；

（3）对所研究的导体进行受力分析（包括重力、弹力、摩擦力、安培力等）和运动状态分析；

（4）依据牛顿运动定律列出动力学方程或平衡方程；

（5）解方程并进行必要的分析和讨论。

解决电磁感应中动力学极值问题的关键是通过对所研究导体的受力分析和运动状态分析，寻找过程中的极值条件或临界状态，如速度、加速度为最大值、最小值等。一般来说，当速度为极大或极小值时，加速度a=Δv/Δt=0，合外力F合=ma=0，根据电磁学知识和动力学知识列出混合方程组，即可求得未知量。

【例1】如图1所示，两根足够长的平行金属轨道倾斜放置，倾角θ=53°，轨道上端接一只阻值为R=0.4Ω的电阻，两轨道间距为L=40cm，且轨道足够长，电阻不计。一根质量m=3g，有效电阻r=1.0Ω的均匀直金属杆放在两轨道上，且与轨道垂直。整套装置处于磁感应强度B=0.5T的匀强磁场中，磁场方向垂直斜面向上。现让杆沿轨道由静止开始下滑，轨道和金属杆接触良好，不计它们之间的摩擦。求：

（1）在下滑过程中，杆可以达到的速度最大值；

（2）在加速下滑的过程中，当杆的速度大小为v=0.7m/s时杆中的电流及其加速度的大小。

分析：解决本题的关键是分析ab杆速度最大时的受力情况。

解：（1）金属杆下滑过程中的受力情况如图2所示。

当ab杆速度达到最大值时，加速度为零，这时有：mgsinθ=F安

F安=BIL

I=ER+r

E=BLv

解得：v=0.84m/s

（2）当杆的速度大小为v=0.7m/s时，杆ab正在加速下滑。

杆中的电流I=ER+r

=BLvR+r=

0.1（A）

杆的加速度a=

mgsinθ-BILm

=1.33（m/s2）

【例2】（2016年全国高考卷Ⅱ）如图3所示，水平面（纸面）内间距为L的平行金属导轨间接一电阻，质量为m、长度为L的金属杆置于导轨上，t=0时，金属杆在水平向右、大小为F的恒定拉力作用下由静止开始运动，t0时刻，金属杆进入磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场区域，且在磁场中恰好能保持匀速运动。杆与导轨的电阻均忽略不计，两者始终保持垂直且接触良好，两者之间的动摩擦因数为μ，重力加速度大小为g。求：

（1）金属杆在磁场中运动时产生的电动势的大小；

（2）电阻的阻值。

分析：金属杆进入磁场前在拉力F和滑动摩擦力f的作用下做匀加速直线运动，进入磁场后恰好能保持匀速直线运动，即F合=0。

解：（1）金属杆在进入磁场前受力情况如图4所示。

根据牛顿运动定律：F-f=ma

且f=μFN=μmg

v=at0

金属杆在磁场中运动时产生的电动势E=BLv

联立解得：E=BLt0（F-μmg）m

磁场中运动时受力情况如图5所示。

根据平衡条件得：F安+f=F

其中：F安=BIL=BLER

f=μmg

解得：R=B2L2t0/m

总之，对高中物理中的电磁感应与力学综合类问题，只要分析清楚研究对象的运动变化过程，找出隐含条件，按电磁感应规律和力学规律列出混合方程组，问题也就迎刃而解了。

（责任编辑易志毅）