二十一世纪新型数学工具“新筛法”

相振全?王龙

摘 要：本文介绍了数学史中出现的三种筛法。研究了这三种筛法的数学工具性，分析了三种筛法的数学思维法式。得出了创新思维主导下的思维法式，能够得出创新的数学方法：一种新型数学工具“新筛法”-结论。

关键词：二十一世纪；“新筛法”工具 ；三个层次；新数学思想

一带一路建设，中华文化的复兴，中国梦的实现是一个全方位的开放政策机遇。在这样的机遇背景下，弘扬中华传统数学思想继承发展中国数学经典《九章算术》理论，正是一个绝好的机遇。在困惑迷惘中，在几千年的“路漫漫兮”探寻数学工具中，人们发现了筛法。

筛法一词起源于公元前250年左右。筛法是研究和素数（质数）有关的数学工具。

一、希腊数学家Eratrosthenes因提出对一个正整数N，如果不能被≤ 的任何一正整数整除，该整数N必是素数（质数）的筛选质数（素数）的方法而得名。这种数学方法就是Eratrosthenes筛法。现在还应用在我们的业务教育小学课本中。不难发现这种筛法是用“≤ 的素数”去除N.，来判定N是否是素数的方法。在20 世纪初期，挪威数学家布伦改进了Eratosthenes筛法，王元、潘承洞做出了卓越的贡献，同陈景润的加权筛法推动了数学史的发展。但是这种筛法有有其缺陷性，使数学家们共同的认知。

二、在二十世纪的1934年，东印度的学生Sundaram又开辟了一个路径，他列方格表形式，第一行是首项为4、公差为3的数列4，7，10， …；同时第一列也是由这一数列所确定的，这 样后面的每一行的第一个数也就确定了.自第 二行起每一行的公差依次是5，7，9，11，…自第 二列起每一行的公差依次是5，7，9，11，…如下表：

从1起，不在表中的数若是m，那么，2m+1是一个素数（质数）如1，2，3，…；1×2+1=3（质数），2×2+1=5（质数），3×2+1=7（质数）…。从文对这种筛法的真实性的逆否命题证明过程可以发现，Sundaram筛法的建立从本质上摆脱了Eratrosthenes的数学思维模式。具有一定的创新性。也有很大的局限性。其应用受到限制。

文指出：“可以相信，在哥德巴赫猜想的研究中，有待于将来出现一个全新的数学观念。”。文指出：“近代数学之所以能够发展到今天，主要是靠的是中国数学，而非希腊数学，决定数学历史进程的主要是中国的数学而非希腊数学。”

三、“新筛法”是吸收了《九章算术》）中的筛法元素，形成独立的筛法体系，创立于二十一世纪的2006年。出自于文、完善于文。《九章算术》是世界上系统地叙述分数算法的最早著作，远在欧洲之前大约一千五百年便建立了成熟的分数理论。在《说文解字》中有“实，富也。以宀从贯；贯，货，贝也”是说“实”是钱财货物之总称，即泛指一切实物。而“法”的涵义起源于西周至秦汉的度量单位。这个“总称”就是“实”，“实”可以大于“法”；也可以等于“法”；也可以小于“法”。《九章算术》中的分数理论“以法为母，实余为子”，“法实相推”，还原“法与实”。成为“新筛法”形成的重要依据。中国传统的筹算法：分数总被还原为一对整数“法”与“实”进行分别运算，从而使在筹算法下进行“法实相推”的动态推演。因而，在形成的新筛法理论中是以：寻找“法”与“实”，还原“法”与“实”为目标。在解决问题时，始终把“法实相推”，还原“法”与“实”为工具，创造出三类筛法工具。包含三个层次。其核心定理如下：

第一类新筛法，定理：整数时，用于筛出素数n的方法。

第二类新筛法，定理1，.M，是非零整数，若，有，用于筛出非整数或素数的方法。定理2，（M，a，b，c，k均为非零整数）则：为整数。用于筛出非整数或素数的方法。

第三类新筛法，在将“法实相推”引入到开区间时，达到新筛法的第三个层次，也就是開区间筛法。如开区间筛法小定理，当n≥8时，在开区间（n，2n）中任意整数满足筛法式：又如开区间筛法大定理，当实数x≥12时，在开区间（）中任意奇数满足筛法式：这两个定理用于数与数之间存在素数的证明；用于所有和素数有关的数学问题的证明。这种新筛法应用十分广泛。可以证明很多和整数法相关的猜想，在文中得以充分体现。因为文包含了，建立新筛法和等价筛法及筛法辅助定理和已经证明的很多猜想；大约有引理，定理170个，因为以它新奇的创造性的数学思想；因为以它严密的数理逻辑贯穿在文之中，它已经荣获了西安市教育局颁发的基础教育成果一等奖，荣获了陕西省教育厅颁发的全省基础教育优秀成果一等奖；荣获了中国国家基础教育研究中心总课题组颁发成果的一等奖。从新筛法的形成过程，可以发现“新筛法”是“摆脱了Eratrosthenes的思维模式，创造性的用“法实相推”还原“法与实”的数学思想，寻找“[x]！实”中是否存在“法n或ai”这个真因数来判定n或ai是否是素数的数学思想。它是二十一世纪新型的数学“工具”。它结合数学归纳法、同余性质、阶乘定理、法实相推，还原法实等方法，在应用的筛法是以解析方程形式出现，结合“法实相推”的动态推演，可以形成所需要的方程，解决问题十分简单。这个过程真正进入了一个“法实相推”缤纷的数学世界。

参考文献：

[1]张元楠.否定中的肯定[M].上海：科学普及出版社，1991：32—33.

[2]王元.哥德巴赫猜想[M].山东：山东教育出版社，1999：61.

[3]吴文俊.中的古代数学对世界文化的伟大贡献[J].数学通报，1975：1（18）.

[4]相振泉.新筛法导论[M].陕西：陕西人民出版社，2006：140—150.

[5]相振泉.新筛法导论[M].陕西：陕西人民出版社，2016：130—300.

作者简介：相振全，男，陕西西安人。

王龙，陕西西安人，西安市第六十八中学高级教师。