一类λ-对数Bazilevic函数的Fekete-Szeg¨o不等式

鲍春梅,李书海,马丽娜

(赤峰学院数学与统计学院,内蒙古赤峰 024000)

一类λ-对数Bazilevic函数的Fekete-Szeg¨o不等式

鲍春梅,李书海,马丽娜

(赤峰学院数学与统计学院,内蒙古赤峰 024000)

本文研究了一类λ-对数Bazilevic函数的Fekete-Szeg不等式.利用分类讨论的方法获得了的精确估计,推广了一些已有的相关结果.

解析函数;λ-对数Bazilevic函数;从属于;Fekete-Szeg不等式

1 引言

设S表示单位圆盘E={z：|z|＜1}内形如的单叶解析函数类的全体.S∗,C和K分别表示通常的星像函数类,凸函数类和近于凸函数类,它们都是S的子类.

设f(z)与g(z)在E内解析,若存在E内满足|φ(z)|≤|z|的解析函数φ(z)(不必单叶),使得f(z)=g(φ(z)),则称f(z)从属于g(z),记为f(z)≺g(z).

且对任意的µ∈[0,1),等号均能成立.

在文献[2-8]中分别研究了某些星像函数类和近于凸函数类的Fekete-Szeg不等式.本文引进一类λ-对数Bazilevic函数,讨论该函数类的Fekete-Szeg不等式,并得到对应的极值函数.

定义设λ≥0,α≥0,-1≤B＜A≤1,若存在g(z)∈S∗,使得f(z)∈S,且满足条件

则称f(z)为λ-对数Bazilevic函数,这类函数记为L(λ,α,A,B),其中的幂函数取主值.

下面对函数类L(λ,α,A,B)中建立Fekete-Szeg不等式,为此需要如下引理.

引理1[9]设φ(z)=d1z+d2z2+···在E内解析且满足|φ(z)|＜|z|,则

引理2[10]设p(z)=1+p1z+p2z2+···在E内解析且对任意z∈E,满足Rep(z)＞0,则

2 主要结果及证明

定理设λ≥0,α＞1,-1≤B＜A≤1,若∈L(λ,α,A,B),则对任意实数µ,有

其中

证因为f(z)∈L(λ,α,A,B),所以存在g(z)=z+b2z2+b3z3+···∈S∗和E内满足条件 |φ(z)|≤|z|的解析函数φ(z)=d1z+d2z2+···,使得

因为

仍属于L(λ,α,A,B),所以不失一般性,可以假定.下面估计.

由于g(z)∈S∗,所以存在E内具有正实部的解析函数p(z)=1+p1z+p2z2+···,使得zg′(z)=g(z)p(z),比较系数可得

其中b2=p1=2ρeiφ,0≤ρ≤1.

其中d1=reiθ,0≤r≤1.所以

其中

当µ1≤µ≤µ2时,不存在对应的极值函数.

当µ≤µ1时,不存在对应的极值函数.

令

则M(A-B)是A-B的一次函数,且

故当0＜A-B＜2时,M(A-B)≥0,从而(x1)≤(A-B)+α(1+2λ).对于0≤t≤1,有

当b2=0,b3=1,d1=0,d2=1时等号成立.对应的极值函数为

综上所述,本定理得证.

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[10]Pommerenke C H(杨维奇译).单叶函数[M].北京：科学出版社,1987.

BAO Chun-mei,LI Shu-hai,MA Li-na
(School of Mathematics and Statistics,Chifeng University,Chifeng 024000,China)

In this paper,we discuss the Fekete-Szeginequality of a class ofλ-logarithmic Bazilevic function.Using the methods of the classi fi cation,we obtain the accurate estimation of,which generalizes some known results.

analytic function;λ-logarithmic Bazilevic function;subordinate;Fekete-Szeginequality

on：30C45

O174.51

A

0255-7797(2017)04-0845-06

2015-05-04接收日期：2015-08-06

内蒙古自治区自然科学基金资助(2014MS0101).

鲍春梅(1962-),女,蒙古族,内蒙古赤峰,教授,主要研究方向：复分析及其应用.