物体速度最大的条件是否一定是合外力为零

摘要：通过对直线运动、圆周运动、一般曲线运动中最大速度问题的分解与解析详细说明了物体速度最大的条件并不一定是合外力为零，从而纠正部分学生或教师脑海所存在的问题，并总结了解决此类问题的一般规律及解题思路，为科学备考建立了正确的物理模型.

关键词：最大速度；直线运动；曲线运动

基金项目：江苏省教育科学规划十二五重点课题《用PCK理论优化高中物理难点内容教学的研究》（编号：B-b/2015/02/070）、南京市教育科学“十三五”规划个人课题《用PCK理论优化“磁场”难点内容教学的研究》（编号：LK0618）的阶段性成果.

作者简介：熊耀华，男，湖北麻城人，高中物理一级教师，硕士研究生学历，主要研究方向为高中物理教学.

一些教学参考资料或练习册有关速度最大问题的解答中经常出现“（直线运动中）当物体所受合外力为零时，其速度达到最大值”字样，久而久之，学生或教师很容易将此作为一个结论熟记心中，碰到类似题目，便不加分析地套用，此举必将在高考中造成严重的后果，因此有必要对此问题进行纠正与深入剖析.本文将从直线运动、圆周运动、一般曲线运动三个方面分别以例证的方式对此结论的正误进行详细分析，并总结最大速度问题的一般规律和解题思路.

1直线运动中的最大速度问题

例1如图1所示，倾角为α的绝缘斜面置于磁感应强度为B的匀强磁场中，一个质量为m、带电量为+q的金属块在斜面顶端由静止释放，已知金属块与斜面的动摩擦因数为μ且满足μ

（1）在斜面上金属块下滑能达到的最大速度是多少？

（2）若将题目中斜面是光滑的且磁场方向改为垂直纸面向外，其它条件不变，求金属块在斜面上由静止下滑后能达到的最大速度又是多少？

（3）若将题目中斜面是光滑的且磁场方向改为垂直纸面向外，且斜面长度为L=3m，其它条件不变，若已知m=2kg，B=1T，q=2C，α=37°，g取10m/s2，求金属块在斜面上由静止下滑后能达到的最大速度又是多少？

解析（1）要求金属块的最大速度，需要对金属块进行受力分析与运动过程分析.当金属块静止释放瞬间，因μμmgcosα，故金属块应沿斜面加速下滑，一旦滑动起来，会受到垂直斜面向下的洛仑兹力f洛=Bqv，受力情况如图2所示，由牛顿第二定律mgsinα-μ（mgcosα+Bqv）=ma易知，随着v的增大，洛仑兹力f洛=Bqv也增大，加速度a逐渐减小，当a=0时，金属块合外力为零，将开始做匀速直线运动，因此在斜面足够长的情况下，当a=0时有最大速度vm=mgsinα-μmgcosαμBq.

（2）此问还是求金属块的最大速度，当a=0时是否有最大速度vm？同样对金属进行受力分析与运动过程分析.当金属块静止释放瞬间，因μμmgcosα，故金属块应沿斜面加速下滑，一旦滑动起来，会受到垂直斜面向上的洛仑兹力f洛=Bqv，受力分析如图3所示，由力的正交分解法与牛顿第二定律有如下两个方程：

mgsinα=ma（1）

N+Bqv=mgcosα（2）

由方程（1）知，此金属块做初速度为零、加速度为a=gsinα的匀加速直线运动，直到当N=0即Bqv=mgcosα时金属块就脱离斜面，因此在斜面足够长的情况下，金属块在斜面上有最大速度的条件是当斜面对金属块的支持力N=0，其最大速度为vm=mgcosαBq，而此时滑块的合力为mgsinα=ma.因此这种情况下“当物体所受合外力为0时，其速度达到最大值”的结论并不成立.

（3）與第2问比较，只是将“斜面足够长”改成了“斜面长度为L=3m”，并赋予具体数据，那第（3）问的结果与第（2）问是否完全一致？由于第（3）问金属块受力情况、运动情况与第（2）完全相同，也是做匀加速直线运动，因此在解析第（3）问时，我们不妨沿着第（2）问的解析思路进行思考：如果斜面足够长时，则由第（2）问解析过程不难得到最大速度vm=8m/s2.由匀加速直线运动公式或动能定理知，此时金属块沿斜面下滑的位移为Lx=v2m2gsinα=163m > L=3m，说明第（3）问中金属块到达斜面底端时并没达到第（2）问的最大速度，即金属块到达斜面底端时，斜面对金属块还有支持力，并没有脱离斜面.故由匀加速直线运动公式或动能定理有vm=2gLsinα，代入相关数据得vm= 6m/s，此即第（3）问正确答案.此时“当物体所受到的合外力为零时，其速度达到最大值”的结论也不成立.

2圆周运动中的最大速度问题

例2如图4所示，用一根长为L的塑料绝缘细绳将质量为m的金属球拴住，细绳另一端固定在某悬点O，把金属球拉到和悬点O水平的位置自静止释放，不计空气阻力，则

（1）金属球在向下摆动过程中哪个位置有最大速度？最大速度是多少？

（2）若金属球带电量为+q，并且处于大小为E、方向水平向右的匀强电场中（Eq=mg），把金属球拉到和悬点O在同一水平面的位置自静止释放，金属球在向下摆动过程中哪个位置有最大速度？最大速度是多少？

解析（1）由于只有重力做功，小球由静止释放到最低点过程中重力势能与动能的总能量守恒，因此重力势能最小的位置即最低点动能最大（速度最大）.若选最低点为零势能面，则由能量守恒定律有mgL+0=0+12mv2m，故vm=2gL.对小球最低点受力分析不难得出，绳子对小球的拉力与小球的重力的合力给小球做圆周运动提供向心力，即动力学方程为T-mg=mv2mL，显然此时小球所受合外力是3mg，而并不等于零.

（2）与第1问比较，第（2）问多了电场，我们可以采用“等效重力”法仿照（1）一样定性分析得出结论.当然也可以采用动力学分析法进行定量分析，分析过程如下：运动过程中金属球受力分析如图5所示，将力沿半径和切向进行分解，半径方向力Fx改变速度的方向，而切向力Fy改变速度的大小，两者各司其职.其对应动力学方程如下：

Fx=T-mgsinθ-Eqcosθ=mv2L

Fy=mgcosθ-Eqsinθ=may

随着θ的增大，Fy先减小后反向增大，因此金属球作的是切向加速度ay先减小后反向增大的变加速曲线运动，当切向力Fy=0（ay=0）时有最大速度vm，考虑到mg=Eq即可知当θ=450有最大速度vm，此时其合力指向O点，大小为mv2m L，也并不等于0.由动能定理有mgLsin45°-EqL（1-cos45°）=12mv2m，故vm=2（2+1）gL，此时小球所受到的合力为2（2+1）mg，绳子对小球的拉力为（32+2）mg.通过以上两种情况的分析可以看出，在物体做圆周运动过程中，速度最大的条件依然不是“物体所受到的合外力零”.

3一般曲线运动中的最大速度问题

例3设空间存在竖直向下的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场，如图6所示.已知一离子在电场力和洛仑兹力的作用下，从静止开始自A点沿曲线ACB运动，到达B点时速度为零.C点是运动的最低点.忽略重力，以下说法中正确的是

A.离子必带正电荷；

B.A点和B点位于同一高度；

C.离子在C点時速度最大；

D.离子到达B点后，将沿原曲线返回A点.

解析粒子在点A由静止释放，只受到电场力，粒子能够从A向C运动，说明了电场力方向一定竖直向下，而电场线竖直向下，故该离子一定带正电，故A正确；由于运动过程中只有电场力做功，洛仑兹力不做功，由能量守恒可AB必位于同一高度，B正确；而在整个运动过程中，相对于初始位置A点，AC的竖直高度最大，电场力做功最多，此时即C点动能最大.此时C点的速度水平向右，电场力与洛兹力的合力竖直向上，即F合垂直于vc，故选项C正确，而此时由曲线运动的条件可知，其合外力一定不等于0，结论还是不成立；而到达B点后，离子将向右重复ACB的曲线运动过程.故此题正确选项为ABC.

4规律总结

通过对直线运动、圆周运动、一般曲线运动三种类型的最大速度问题详细分析，我们不难发现：物体达到最大速度的条件并非一定是合外力为零（即加速度a=0）.对于做直线运动的物体而言，在轨道足够长的前提下，其最大速度的条件一定是合外力为零（或加速度a=0）；而对于物体做圆周运动或一般的曲线运动，其速度最大的位置合外力并非一定为零，而是沿速度方向的合外力为零（即F合垂直于v）时才有最大速度.因此无论是直线运动、圆周运动还是一般的曲线运动，我们可以给出一般规律性结论：在轨道足够长的前提下，当物体沿速度方向的合外力为零时物体必将达到最大速度.

对于高中物理学习而言，弄清楚物体达到最大速度的条件是非常必要的，在不同省份的高考题中也有呈现，例如2008年江苏高考题及2011年上海高考题.

例4（2008·江苏卷）如图7，在场强为B的水平匀强磁场中，一质量为m、带正电q的小球在O静止释放，小球的运动曲线如图7所示.已知此曲线在最低点的曲率半径为该点到z轴距离的2倍，重力加速度为g.求

（1）小球运动到任意位置P（x，y）的速率v

（2）小球在运动过程中第一次下降的最大距离ym

（3）当在上述磁场中加一竖直向上场强为E（E>mgq）的匀强电场时， 小球从O静止释放后获得的最大速率vm.

例5（2011·上海卷）如图8，电阻可忽略的光滑平行金属导轨长S=115m，两导轨间距L=075m，导轨倾角为30°，导轨上端ab接一阻值R=15Ω的电阻，磁感应强度B=08T的匀强磁场垂直轨道平面向上.阻值r=05Ω，质量m=02kg的金属棒与轨道垂直且接触良好，从轨道上端ab处由静止开始下滑至底端，在此过程中金属棒产生的焦耳热Qr=01J.（取g=10m/s2）求

（1）金属棒在此过程中克服安培力的功W安；

（2）金属棒下滑速度v=2m/s时的加速度a.

（3）为求金属棒下滑的最大速度vm，有同学解答如下：由动能定理W重-W安=12mvm2，…….由此所得结果是否正确？若正确，说明理由并完成本小题；若不正确，给出正确的解答.

以上两高考题的解析过程略，若学生套用习题册上的“合外力为零时有最大速度”结论必错无疑.解决此类“最大速度”问题的关键在于分析最大速度应满足的条件，一般而言，其具体处理方法有以下两种视角：

第一种方法是动力学角度.首先选定研究对象并对研究对象进行受力分析，写出研究对象的牛顿第二定律方程，即研究对象所受外力或加速度随速度变化的函数关系，然后分析其运动情况，找出其速度达到最大时所满足的条件，最后由此条件求出速度最大值，不过需要注意的是轨道是否足够长；

第二种方法是功能关系的角度.首先选定研究对象，并具体分析其做功情况、能量变化情况，然后用功能关系定性分析研究对象达到速度最大值时的条件，最后用功能关系定量列式求解.