寻根溯源殊途同归

崔晓富

在平面几何的动态问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的周长或面积、角的度数以及它们的和与差）的最大值或最小值问题，称为几何最值问题。近年，各地中考题常通过几何最值问题考查学生的实践操作能力、空间想象能力、分析问题和解决问题的能力。笔者针对安徽省近两年中考数学的几何最值问题作一探究与分析，希望对大家有所帮助。

一、实例探讨与评点

问题一：（2016年安徽省中考数学第10题）如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值为（）

【考点】点与圆的位置关系；圆周角定理。

【分析】首先证明点P在以AB为直径的☉O上，连接OC与☉O交于点P，此时PC最小，利用勾股定理求出OC即可解决问题。

教师运用“几何画板”进行解析，取CQ的中点O，连接OP，当OP⊥AB时，OP最短，所以CQ=2OP取最小值。

二、拓展与引申

阅读下列材料：小华遇到这样一个问题，如图3，△ABC中，∠ACB=30°，BC=6，AC=5，在△ABC内部有一点P，连接PA，PB，PC，求PA+PB+PC的最小值。

小华是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离，然后将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线段最短”，就可以求出这三条线段和的最小值了。他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题。他的做法：如图4，将△APC绕点C顺时针旋转60°，得到△EDC，连接PD，BE，则BE的长即为所求。

（1）请你写出图4中，PA+PB+PC的最小值为____________；

（2）参考小华的思考问题的方法，解决下列问题：

即当PA+PB+PC值最小时PB的长为。

三、归纳小结教学启示

1.解决平面几何最值问题的常用方法

（1）应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三邊关系）求最值；

（2）应用垂线段最短的性质求最值；

（3）应用轴对称的性质求最值；

（4）应用二次函数求最值；

（5）应用其他知识求最值。

2.对教学的启示

（1）教师的数学功底和文字表述水平；

（2）教师应有广阔的视角；

（3）加强“动态几何”训练；

（4）紧扣《数学课程标准》，透析《安徽中考考纲》。

“几何最值问题”试题新颖别致，颇具魅力，成为中考试题中的一朵朵奇葩，但我们寻根溯源，定能殊途同归。让我们共同努力，共同探索，共同为之奋斗！

（作者单位：安徽省南陵县城东实验学校）