另眼看圆柱体的体积

崔兴华

多次听不同老师执教小学数学“圆柱体的体积计算”一节课，形式都大同小异。基本环节就是利用教具、模型把圆柱体转化成近似长方体，然后探究、推导圆柱体的体积计算公式。结合自己的教学实践，我觉得这里面有两个问题值得进一步探究。

问题一：圆柱体切割组合成近似长方体的观察角度单一。应让学生至少是有能力的学生从不同角度观察、探究，全面认识圆柱体的体积探究方法，培养多角度观察、思考问题的意识和创新意识。

每位执教这节课的老师都采用了把圆柱体切割组合成近似长方体的探究方式，渗透转化的思想，不论是教师展示还是学生动手操作，观察组合成的近似长方体时，都是按照竖着的方式放（近似长方体的底面和高与圆柱体相对应），如果小组探究有不是这样放的教师也要让学生改过来，因为这样便于探究，更便于教师引领学生和驾驭课堂。

连出的题都成了固定格式，没有人再去质疑它是否合理。

第一，我们知道可以把圆柱拼成近似的长方体，圆柱体的底面积与拼成的长方体的（底面积）相等，圆柱体的高和拼成的长方体的（高）相等；

第二，實验中拼成的长方体的长就是圆柱体的（周长的一半），长方体的宽就是圆柱体的（半径），高就是圆柱体的（高）。

我们知道，一个圆柱体不管怎样放，它的底面积和高是不变的。而长方体的长、宽、高是根据习惯按照放置方向而起的相对的名称，不是固定名称，没有限定条件的情况下，怎么能与圆柱的相关数据一一对应呢？

我觉得这样的课堂本质还是老师牵着学生的鼻子走，影响了部分学生的發散思维和探究欲。

我的思考是，我们提倡发散思维、创新能力，为什么教师不能完全放手让学生尽情探究呢，最起码一部分能力较强的学生应该有更多的思考，思维得到更广阔的发展。

实际上，近似长方体不论怎样放或者说不论从怎样的角度观察，都能计算出它的体积。我们设：圆柱的半径为r，高为h，底面积为S，体积为V。具体分析如下。

1.竖着放

也就是常规放法，近似长方体的底面积就是圆柱体的底面积，近似长方体的高就是圆柱体的高，体积计算公式的推导过程这里不必细说。

2.横着或者说平着放

圆柱的侧面分为近似长方体的上、下面，圆柱周长的一半和高分别是长方体的长和宽（长、宽只是相对而言），圆柱的半径r就是长方体的高。那么对应长方体的底面积就是πrh，也就是圆柱侧面积的一半，乘长方体的高r，即得出体积V=πrh·r=πr2h=Sh。

3.侧着放

圆柱的竖断面分为近似长方体的上、下面，圆柱的高和半径分别是长方体的长、宽，圆柱周长的一半就是长方体的高。那么对应长方体的底面积就是rh，乘长方体的高也就是圆柱周长的一半πr，即得出体积V=rh·πr=πr2h = Sh。

综上所述，不论近似长方体模型怎样放，从不同角度观察、探究组合成的长方体的体积，都能推导出圆柱的体积计算公式。我们有什么理由限定所有学生从一个角度去观察、探究，阻碍学生的自由、自主探究呢？限定所有学生从一个角度去观察、探究，会不会影响学生的发散思维？会不会影响他的好奇心、探究欲？如果学生能从不同角度观察、探究出圆柱体的体积计算，学生对这部分内容的认识、理解会不会更全面、更深刻？就像算法的多样性，我们不能要求所有学生都掌握多种方法，但是我们还有鼓励有能力的学生多理解、多探究，然后学会选优。课堂上，能摆脱教材、教师的引导，从不同角度探究出圆柱体的体积计算公式，这些学生将获得怎样的成就感！

在教学实践中，这样可能会多一些学生探究的时间，不如老师引导的一种探究方法快，但是我们的教学最终是为了学生发展，为了学生发展多用些时间，值！如果单纯为了节省时间，这个切割圆柱体组合成长方体的过程完全可以省略，因为用我下面说的问题二里面的方法就可以非常简单的让学生理解圆柱的体积计算公式。

问题二：探究出圆柱的体积计算公式后要回到对体积本质的理解。

探究以后，反回头来看公式V =Sh或者说计算方法，代表的只是数的计算，往往缺少了对体积本质的理解。本质上，体积是表示一个物体包含了多少个体积单位，开始接触长方体和正方体的体积时，我们都会用教具展示，底面积代表的是在底面上一层能摆多少个体积单位（小正方体），高是代表能摆这样的多少层，每层体积单位的数量（底面积）乘几层（高）就是总的体积，当然每层的个数和层数都不一定是整数。圆柱体的体积同样也是这个道理，通过模型、课件展示、引导想象都可以帮助学生理解。这样理解和记忆起来，既能抓住体积的本质，与长方体、正方体的体积计算建立统一联系，又比根据推导过程记忆要简单的多，同时还能培养学生的空间观念。但是，这个看似简单却很重要的过程大都被忽略了。

以上是我对“圆柱体的体积计算”教学的一些看法，不当之处，敬请专家和同仁指正。